MathTrail数え上げ1–6年生
5羽のハトが4つの巣箱に飛びこむと、どれかの巣箱には必ず2羽が入ります。こうした問題で子どもは、どんなに運が悪くても何かが必ず起こることを証明します。暗い引き出しから同じ色のくつ下が2枚出る、同じ月に誕生日が2つある、といったことです。運がいい場合ではなく、最悪の場合について筋道を立てて考えることに、はじめて出会うテーマです。
ハトが巣箱より多ければ、どれかの巣箱には少なくとも2羽が入ります。どんなに均等に分けても、必ず1羽があまります。
「確実に」とは、袋から何が出てきても、という意味です。ですから、すべてができるかぎり悪いほうへ進むと考えて、運の悪さがどこまで続くかを見てください。
運の悪さが出つくしたら、つまりどの色も1回ずつ出て、どの巣箱も1回ずつうまったら、次の1つは必ずほしいものになります。
どの問題も、確実に起こることを聞いています。答えは、運の悪さがどこまで続くかに、あと1つをたしたものです。
| 確実にほしいもの | 運が悪いと先に出るもの | だから必要な数 |
|---|---|---|
| 同じ曜日に生まれた2人 | 7つの曜日に1人ずつ | 7 + 1 = 8人 |
| 青6個と赤4個から、赤い玉1個 | 青い玉6個全部 | 6 + 1 = 7個 |
| 青6個と赤4個から、赤い玉2個 | 青い玉6個全部と赤1個 | 6 + 1 + 1 = 8個 |
色、月、曜日など、巣箱にあたるものを決め、いちばん運が悪い場合を最後までたどってください。問題が求めるものをまだくれないものを、全部取り出すのです。次の1つは、必ず求めるものになります。下の例題は、いちばんやさしい問題から算数オリンピックの問題へと進みます。
例題1 · 1–2年生
びんの中に、レモン味のあめが8個と、オレンジ味のあめが2個入っています。ヒカルは中を見ないで、あめを取り出します。オレンジ味のあめを確実に手に入れるには、少なくとも何個取り出せばよいですか。
ヒカルがほしいのは、オレンジ味のあめです。いちばん運が悪いのは、レモン味が次々に出る場合です。
レモン味のあめは8個しかありません。8個取り出したあとは、びんの中にはオレンジ味のあめしか残っていません。
9個目のあめは必ずオレンジ味です。8 + 1 = 9。
答え 9個です。
例題2 · 3–4年生
引き出しに、黒いくつ下が8枚、白いくつ下が6枚、しまもようのくつ下が2枚、まざって入っています。ゲンは暗い中で、くつ下を取り出します。黒いくつ下を確実に2枚手に入れるには、少なくとも何枚取り出せばよいですか。
いちばん運が悪いのは、黒でないくつ下が先に出る場合です。白が6枚、しまもようが2枚で、黒がまじっていない8枚です。
運の悪さは、まだ続きます。次のくつ下は黒ですが、1枚だけです。これで9枚になり、そのうち黒は1枚だけです。
10枚目のくつ下も必ず黒です。残っているのは黒いくつ下だけだからです。だから10枚です。
答え 10枚です。
例題3 · 5–6年生
たて2マス、横2マスのマス目の、どのマスにも1、2、3のどれかが書いてあります。横の並び、たての並び、ななめの並びのそれぞれで、2つの数をたします。この6つの和のうち、どれか2つはいつも等しくなるといえますか。
巣箱を数えます。1、2、3から選んだ2つの数の和は、2、3、4、5、6のどれかで、全部で5通りです。
ハトを数えます。横の並びが2つ、たての並びが2つ、ななめの並びが2つで、和は6つです。
和は6つ、値は5通りしかありません。だから、マス目にどんな数が入っていても、どれか2つの和は必ず等しくなります。
答え はい、いつもそうなります。
MathTrail は、間違った答えを一つひとつ、どのひっかけにかかったのかから解説します。このテーマでよくあるひっかけを、お子さまへの声かけの例と一緒に紹介します。
子どもは「最初の2枚が黒なら、2枚で足りる」と運にたよってしまいます。しかし問題には「確実に」とあり、この言葉がしめ出しているのが、まさに運なのです。
声かけ
「もし、いちばん運が悪かったら？」
問題の言葉が1つ抜け落ちてしまいます。「黒いくつ下2枚」を「同じ色のくつ下2枚」と読んだり、「どの色も1枚ずつ」を「1つの色」と読んだりします。
声かけ
「もう一度問題を読んでみよう。確実に手に入れないといけないのは、何？」
子どもは、いちばん運が悪い場合を最後までたどったところで止まって、決め手になるあと1つを忘れたり、反対に1つ多くたしたりします。
声かけ
「運の悪いのが全部終わったら、次の1つは何になる？」
2〜3色のくつ下を袋に入れて、目をつぶって取り出してみてください。何枚取り出したら、確実にペアになる？何回か試してみてください。運は変わっても、答えは変わりません。
お子さまが「そうなるかもしれない」と言ったら、「そうならないこともある？」と聞いてみてください。「かもしれない」と「必ず」の違いが、このテーマのすべてです。
7つの曜日、12か月、4つの季節など、身近な数の中に、一緒に巣箱を探してみてください。「30人いたら、同じ月に生まれた2人が必ずいる？」
ハトの巣原理の問題を出してください