MathTrailالعدّ والحصرالصفوف 1–6
تطير خمس حمامات إلى أربعة أعشاش، وبحسب مبدأ برج الحمام لا بد أن يضمّ أحد الأعشاش اثنتين منها. وفي هذه المسائل على الطفل إثبات أن شيئًا ما لا بد أن يحدث مهما ساء الحظ: جوربان من لون واحد يُسحبان من درج مظلم، وعيدا ميلاد في شهر واحد. وهي أول لقاء مع التفكير في أسوأ حالة بدل الحالة المحظوظة.
إذا كان الحمام أكثر من الأعشاش، ففي أحد الأعشاش حمامتان على الأقل. وزّعوها بالتساوي قدر ما تشاؤون: ستبقى دائمًا واحدة زائدة.
عبارة «للتأكد» تعني: مهما خرج من الكيس. لذا تخيّلوا أن كل شيء يسير على أسوأ وجه ممكن، وانظروا إلى أي حد يمكن أن يصل الحظ السيئ.
عندما ينفد الحظ السيئ، بعد أن يُسحب كل لون مرة ويُملأ كل عش مرة، فلا بد أن يعطي التالي المطلوب.
كل سؤال هنا يسأل عمّا هو مؤكد. والإجابة هي أقصى ما يمكن أن يصل إليه الحظ السيئ، وواحد إضافي.
| المطلوب بالتأكيد | ما قد يعطيه الحظ السيئ أولًا | إذن نأخذ |
|---|---|---|
| اثنان وُلدا في اليوم نفسه من الأسبوع | واحد وُلد في كل يوم من 7 أيام | 7 + 1 = 8 أشخاص |
| كرة حمراء، من بين 6 زرقاء و4 حمراء | كل الكرات الزرقاء، أي 6 | 6 + 1 = 7 كرات |
| كرتان حمراوان، من بين 6 زرقاء و4 حمراء | كل الكرات الزرقاء، أي 6، وكرة حمراء واحدة | 6 + 1 + 1 = 8 كرات |
حدّدوا الأعشاش، كالألوان أو الأشهر أو أيام الأسبوع، وتتبّعوا أسوأ الحظ حتى نهايته: خذوا كل ما لا يعطي حتى الآن ما يطلبه السؤال. فالتالي لا بد أن يعطيه. تتدرّج الأمثلة أدناه من الأبسط إلى مستوى الأولمبياد.
مثال 1 · الصفوف 1–2
في مرطبان 8 قطع حلوى بطعم الليمون و2 بطعم البرتقال. كم قطعة حلوى يجب أن تأخذ سارة دون أن تنظر، للتأكد من الحصول على قطعة بطعم البرتقال؟
تريد سارة قطعة بطعم البرتقال. وأسوأ الحظ: ليمون بعد ليمون.
قطع الليمون 8 فقط: فبعد 8 منها لا يبقى في المرطبان إلا قطع البرتقال.
الحلوى رقم 9 لا بد أن تكون بطعم البرتقال: 8 + 1 = 9.
الإجابة 9 قطع حلوى.
مثال 2 · الصفوف 3–4
في درج 8 جوارب سوداء و6 بيضاء و2 مخططان، وكلها مختلطة. كم جوربًا يجب أن يأخذ خالد في الظلام للتأكد من الحصول على جوربين أسودين؟
أسوأ الحظ: تخرج أولًا الجوارب غير السوداء. وهي 6 بيضاء و2 مخططان، أي 8 جوارب ليس بينها جورب أسود.
ويمكن أن يستمر الحظ السيئ: فالجورب التالي أسود، لكنه واحد فقط. فهذه 9 جوارب ليس بينها إلا جورب أسود واحد.
أما الجورب رقم 10 فلا بد أن يكون أسود أيضًا، لأنه لم يبق إلا الجوارب السوداء. إذن 10 جوارب.
الإجابة 10 جوارب.
مثال 3 · الصفوف 5–6
في كل خانة من جدول 2 في 2 يُكتب 1 أو 2 أو 3. يُجمع العددان في كل صف، وفي كل عمود، وفي كل قطر. هل صحيح أن مجموعين من هذه المجاميع الستة متساويان دائمًا؟
نعدّ الأعشاش: مجموع عددين من 1 و2 و3 هو أحد الأعداد 2 و3 و4 و5 و6، أي خمس قيم إجمالًا.
نعدّ الحمام: 2 صفان و2 عمودان و2 قطران، فهذه 6 مجاميع.
ستة مجاميع وخمس قيم فقط: لا بد أن يتساوى مجموعان منها، مهما كانت الأعداد في الجدول.
الإجابة نعم، دائمًا.
يشرح MathTrail كل إجابة خاطئة بالفخ الذي وقعت فيه. وهذه أكثر الفخاخ شيوعًا في هذا الموضوع، ومع كل منها ما يمكن قوله لطفلكم.
الاعتماد على الحظ: «إذا كان أول جوربين أسودين، فجوربان يكفيان». والسؤال يقول «للتأكد»، وهذه الكلمة تستبعد الحظ تحديدًا.
ما يمكن قوله
«وماذا لو كان الحظ في أسوأ حالاته؟»
تضيع كلمة من السؤال: تُقرأ «جوربان أسودان» على أنها «جوربان من لون واحد»، أو «واحد من كل لون» على أنها «لون واحد».
ما يمكن قوله
«لنقرأ السؤال مرة أخرى. ما الذي يجب التأكد منه بالضبط؟»
تتبّع أسوأ الحظ حتى نهايته ثم التوقف عنده، مع نسيان الواحد الإضافي الذي يحسم الأمر، أو إضافة واحد زائد عن اللازم.
ما يمكن قوله
«بعد أسوأ الحظ، ماذا يعطي التالي؟»
ضعوا في كيس جوارب من لونين أو ثلاثة، وأخرجوها بعيون مغمضة: كم جوربًا يلزم حتى يُضمن الزوج؟ جرّبوا ذلك عدة مرات. الحظ يتغير، والإجابة لا تتغير.
عندما تسمعون من الطفل «قد يحدث هذا»، اسألوا: «وهل يمكن ألا يحدث؟». فالفرق بين «يمكن» و«يجب» هو الموضوع كله.
ابحثوا معًا عن الأعشاش في الأعداد اليومية: سبعة أيام في الأسبوع، واثنا عشر شهرًا، وأربعة فصول. «نحن 30: هل من المؤكد أن بيننا اثنين وُلدا في الشهر نفسه؟».
أعطني مسألة في موضوع «مبدأ برج الحمام»