MathTrailCompter et dénombrerNiveaux 1–6
Cinq pigeons entrent dans quatre cages : d’après le principe des tiroirs, l’une des cages en contient forcément deux. Dans ces problèmes, l’enfant prouve que quelque chose doit arriver, aussi malchanceux que soit le tirage : deux chaussettes de la même couleur sorties d’un tiroir dans le noir, deux anniversaires dans le même mois. C’est la première rencontre avec un raisonnement sur le pire des cas plutôt que sur le cas chanceux.
S’il y a plus de pigeons que de cages, une des cages en contient au moins deux. Répartissez-les aussi équitablement que vous voulez : il y en a toujours un de trop.
« À coup sûr » veut dire : quoi qu’il sorte du sac. Imaginez donc que tout se passe aussi mal que possible, et voyez jusqu’où la malchance peut aller.
Quand la malchance est épuisée, chaque couleur tirée une fois et chaque cage occupée une fois, le suivant donne forcément ce que l’on cherche.
Chaque question demande ce qui est certain. La réponse, c’est jusqu’où peut aller la malchance, plus un.
| Pour avoir à coup sûr | La malchance peut d’abord donner | Il faut donc prendre |
|---|---|---|
| deux personnes nées le même jour de la semaine | une personne pour chacun des 7 jours | 7 + 1 = 8 personnes |
| une boule rouge, parmi 6 bleues et 4 rouges | les 6 boules bleues | 6 + 1 = 7 boules |
| deux boules rouges, parmi 6 bleues et 4 rouges | les 6 boules bleues et une rouge | 6 + 1 + 1 = 8 boules |
Nommez les cages, par exemple les couleurs, les mois ou les jours de la semaine, et allez jusqu’au bout du pire des cas : prenez tout ce qui ne donne pas encore ce que demande la question. Le suivant le donnera forcément. Les exemples ci-dessous vont du plus simple à un problème d’olympiade.
Exemple 1 · Niveaux 1–2
Un bocal contient 8 bonbons au citron et 2 à l’orange. Sans regarder, combien de bonbons faut-il que Sacha prenne pour avoir à coup sûr un bonbon à l’orange ?
Sacha veut un bonbon à l’orange. Le pire des cas, c’est citron après citron.
Il n’y a que 8 bonbons au citron : après ces 8, il ne reste que des bonbons à l’orange dans le bocal.
Le 9e bonbon est forcément à l’orange : 8 + 1 = 9.
Réponse 9 bonbons.
Exemple 2 · Niveaux 3–4
Un tiroir contient 8 chaussettes noires, 6 blanches et 2 rayées, toutes mélangées. Dans le noir, combien de chaussettes Gabriel doit-il prendre pour avoir à coup sûr deux noires ?
Le pire des cas : les chaussettes qui ne sont pas noires sortent d’abord. Il y a 6 blanches et 2 rayées, soit 8 chaussettes sans aucune noire parmi elles.
La malchance peut encore durer : la chaussette suivante est noire, mais une seule. Cela fait 9 chaussettes, et une seule noire parmi elles.
La 10e chaussette est forcément noire, elle aussi, puisqu’il ne reste que des chaussettes noires. Donc 10 chaussettes.
Réponse 10 chaussettes.
Exemple 3 · Niveaux 5–6
Chaque case d’une grille de 2 sur 2 contient 1, 2 ou 3. Additionne les deux nombres de chaque ligne, de chaque colonne et de chaque diagonale. Est-il vrai que, parmi ces six sommes, deux sont toujours égales ?
On compte les cages : une somme de deux nombres pris parmi 1, 2 et 3 vaut 2, 3, 4, 5 ou 6, soit cinq valeurs en tout.
On compte les pigeons : 2 lignes, 2 colonnes et 2 diagonales donnent 6 sommes.
Six sommes et seulement cinq valeurs : deux des sommes sont forcément égales, quels que soient les nombres de la grille.
Réponse Oui, toujours.
MathTrail explique chaque mauvaise réponse par le piège dans lequel elle est tombée. Voici les plus fréquents dans ce thème, avec une phrase à dire à votre enfant.
L’enfant compte sur la chance : « Si les deux premières chaussettes sont noires, deux suffisent. » La question dit « à coup sûr », et c’est justement la chance qu’elle exclut.
Que lui dire
« Et si tu n’as vraiment pas de chance ? »
Un mot de la question se perd : « deux chaussettes noires » est lu comme « deux chaussettes de la même couleur », ou « une de chaque couleur » comme « une seule couleur ».
Que lui dire
« Relis la question. Qu’est-ce que tu dois avoir à coup sûr, exactement ? »
L’enfant va jusqu’au bout du pire des cas et s’arrête là, en oubliant celui de plus qui décide, ou bien en ajoute un de trop.
Que lui dire
« Après le pire des cas, que donne le suivant ? »
Mettez dans un sac des chaussettes de deux ou trois couleurs et sortez-les les yeux fermés : combien en faut-il pour avoir une paire à coup sûr ? Essayez plusieurs fois. La chance change, la réponse non.
Quand l’enfant dit « ça pourrait arriver », demandez : « Et ça pourrait ne pas arriver ? » La différence entre « peut » et « doit », c’est tout le thème.
Cherchez ensemble des cages dans les comptes de tous les jours : sept jours dans la semaine, douze mois, quatre saisons. « Nous sommes 30 : y en a-t-il forcément deux qui ont leur anniversaire le même mois ? »
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