MathTrailContagemAnos 1–6
Cinco pombos voam para quatro casas: pelo princípio da casa dos pombos, ou princípio das gavetas, alguma casa com certeza vai ficar com dois deles. Nestes problemas, a criança prova que algo tem que acontecer, por maior que seja o azar: duas meias da mesma cor tiradas de uma gaveta no escuro, dois aniversários no mesmo mês. É o primeiro contato com um raciocínio sobre o pior caso, e não sobre o caso em que se tem sorte.
Se há mais pombos do que casas, alguma casa fica com pelo menos dois. Distribua os pombos da forma mais equilibrada que quiser: sempre sobra um.
“Para ter certeza” quer dizer: saia o que sair do saco. Então imagine tudo dando o mais errado possível e veja até onde o azar pode ir.
Quando o azar se esgota, com cada cor já tirada uma vez e cada casa já ocupada uma vez, o próximo com certeza dá o que você quer.
Cada pergunta quer saber o que acontece com certeza. A resposta é até onde o azar pode ir, mais um.
| Para ter com certeza | O azar pode dar antes | Então, pegue |
|---|---|---|
| duas pessoas nascidas no mesmo dia da semana | uma nascida em cada um dos 7 dias | 7 + 1 = 8 pessoas |
| uma bola vermelha, entre 6 azuis e 4 vermelhas | as 6 bolas azuis | 6 + 1 = 7 bolas |
| duas bolas vermelhas, entre 6 azuis e 4 vermelhas | as 6 bolas azuis e uma vermelha | 6 + 1 + 1 = 8 bolas |
Diga quais são as casas, como as cores, os meses ou os dias da semana, e leve o maior azar até o fim: tire tudo o que ainda não dá o que a pergunta quer. O próximo com certeza vai dar. Os exemplos abaixo vão do mais simples a um de olimpíada.
Exemplo 1 · Anos 1–2
Um pote tem 8 balas de limão e 2 de laranja. Sem olhar, quantas balas Alex precisa tirar para ter certeza de pegar uma de laranja?
Alex quer uma bala de laranja. O maior azar é tirar uma de limão atrás da outra.
Só há 8 balas de limão: depois dessas 8, só sobram as de laranja no pote.
A 9ª bala com certeza é de laranja: 8 + 1 = 9.
Resposta 9 balas.
Exemplo 2 · Anos 3–4
Uma gaveta tem 8 meias pretas, 6 brancas e 2 listradas, todas misturadas. No escuro, quantas meias Gabriel precisa tirar para ter certeza de pegar duas pretas?
O maior azar: primeiro saem as meias que não são pretas. São 6 brancas e 2 listradas, 8 meias sem nenhuma preta entre elas.
O azar ainda pode continuar: a próxima meia é preta, mas só uma. São 9 meias e só uma preta entre elas.
A 10ª meia com certeza também é preta, porque só sobraram meias pretas. Então, 10 meias.
Resposta 10 meias.
Exemplo 3 · Anos 5–6
Cada quadradinho de uma grade de 2 por 2 tem um 1, um 2 ou um 3. Calcule a soma dos dois números de cada linha, de cada coluna e de cada diagonal. É verdade que, entre essas seis somas, sempre há duas iguais?
Conte as casas: a soma de dois números entre 1, 2 e 3 é um dos números 2, 3, 4, 5 e 6, cinco valores ao todo.
Conte os pombos: 2 linhas, 2 colunas e 2 diagonais dão 6 somas.
Seis somas e só cinco valores: duas das somas têm que ser iguais, sejam quais forem os números da grade.
Resposta Sim, sempre.
O MathTrail explica cada resposta errada pela armadilha em que ela caiu. Estas são as mais comuns neste tema, com algo que você pode dizer à criança.
A criança conta com a sorte: “Se as duas primeiras meias forem pretas, duas bastam.” A pergunta diz “para ter certeza”, e é justamente a sorte que essas palavras excluem.
O que dizer
“E se você tiver o maior azar possível?”
Uma palavra da pergunta se perde: “duas meias pretas” é lido como “duas meias da mesma cor”, ou “uma de cada cor”, como “uma cor só”.
O que dizer
“Leia a pergunta de novo. Do que exatamente você precisa ter certeza?”
A criança leva o maior azar até o fim e para por aí, esquecendo o mais um que decide, ou soma um a mais.
O que dizer
“Depois do maior azar, o que o próximo vai dar?”
Coloque meias de duas ou três cores em um saco e vá tirando de olhos fechados: quantas é preciso tirar para ter um par com certeza? Tente várias vezes. A sorte muda; a resposta, não.
Quando a criança disser “pode acontecer”, pergunte: “E pode não acontecer?” A diferença entre “pode” e “tem que” é o tema inteiro.
Procure casas nas contagens do dia a dia junto com a criança: os sete dias da semana, os doze meses, as quatro estações. “Somos 30: é certo que duas pessoas fazem aniversário no mesmo mês?”
Quero um problema do princípio da casa dos pombos