MathTrailZählen und AbzählenKlassen 1–6
Fünf Tauben fliegen in vier Käfige: In einem Käfig sitzen dann nach dem Schubfachprinzip zwangsläufig zwei. In diesen Aufgaben beweist ein Kind, dass etwas auch beim größten Pech passieren muss: zwei Socken derselben Farbe aus einer dunklen Schublade, zwei Geburtstage im selben Monat. Es ist die erste Begegnung mit Überlegungen, die vom ungünstigsten Fall ausgehen statt vom glücklichen.
Gibt es mehr Tauben als Käfige, sitzen in irgendeinem Käfig mindestens zwei. Verteilen Sie sie so gleichmäßig, wie Sie wollen: Eine bleibt immer übrig.
„Mit Sicherheit“ heißt: egal, was aus dem Beutel kommt. Stellen Sie sich also vor, dass alles so schlecht läuft wie nur möglich, und sehen Sie, wie weit das Pech gehen kann.
Wenn das Pech ausgeschöpft ist, jede Farbe einmal gezogen und jeder Käfig einmal besetzt, bringt das nächste Stück zwangsläufig das Gewünschte.
Jede Frage will wissen, was sicher ist. Die Antwort ist, wie weit das Pech gehen kann, plus eins.
| Was sicher sein soll | Was das Pech zuerst bringen kann | Also nehmen |
|---|---|---|
| zwei, die am selben Wochentag geboren sind | je eine Person für jeden der 7 Tage | 7 + 1 = 8 Personen |
| eine rote Kugel, aus 6 blauen und 4 roten | alle 6 blauen Kugeln | 6 + 1 = 7 Kugeln |
| zwei rote Kugeln, aus 6 blauen und 4 roten | alle 6 blauen Kugeln und eine rote | 6 + 1 + 1 = 8 Kugeln |
Benennen Sie die Käfige, etwa Farben, Monate oder Wochentage, und spielen Sie das größte Pech bis zum Ende durch: Nehmen Sie alles, was noch nicht das bringt, was die Frage verlangt. Das nächste Stück bringt es dann zwangsläufig. Die Beispiele unten reichen von ganz einfach bis Olympiade-Niveau.
Beispiel 1 · Klassen 1–2
In einem Glas sind 8 Zitronenbonbons und 2 Orangenbonbons. Wie viele Bonbons muss Mika, ohne hinzusehen, herausnehmen, um mit Sicherheit einen Orangenbonbon zu haben?
Mika will einen Orangenbonbon. Das größte Pech ist ein Zitronenbonbon nach dem anderen.
Es gibt nur 8 Zitronenbonbons: Nach diesen 8 sind im Glas nur noch Orangenbonbons übrig.
Der 9. Bonbon ist zwangsläufig ein Orangenbonbon: 8 + 1 = 9.
Antwort 9 Bonbons.
Beispiel 2 · Klassen 3–4
In einer Schublade liegen 8 schwarze, 6 weiße und 2 gestreifte Socken, alle durcheinander. Wie viele Socken muss Jonas im Dunkeln herausnehmen, um mit Sicherheit zwei schwarze zu haben?
Das größte Pech: Zuerst kommen die Socken, die nicht schwarz sind. Es gibt 6 weiße und 2 gestreifte, also 8 Socken, darunter keine einzige schwarze.
Das Pech kann noch weitergehen: Die nächste Socke ist schwarz, aber eben nur eine. Das sind 9 Socken und nur eine schwarze darunter.
Die 10. Socke ist zwangsläufig auch schwarz, denn es sind nur noch schwarze übrig. Also 10 Socken.
Antwort 10 Socken.
Beispiel 3 · Klassen 5–6
Ein Gitter hat 2 × 2 Kästchen, und in jedem steht 1, 2 oder 3. Addiere die zwei Zahlen jeder Zeile, jeder Spalte und jeder Diagonale. Stimmt es, dass zwei dieser sechs Summen immer gleich sind?
Die Käfige zählen: Eine Summe von zwei Zahlen aus 1, 2 und 3 ist eine der Zahlen 2, 3, 4, 5 und 6, insgesamt fünf Werte.
Die Tauben zählen: 2 Zeilen, 2 Spalten und 2 Diagonalen ergeben 6 Summen.
Sechs Summen und nur fünf Werte: Zwei der Summen müssen gleich sein, egal welche Zahlen im Gitter stehen.
Antwort Ja, immer.
MathTrail erklärt jede falsche Antwort mit der Falle, die dahintersteckt. Hier sind die häufigsten in diesem Thema, jeweils mit einem Satz, den Sie Ihrem Kind sagen können.
Das Kind rechnet mit Glück: „Wenn die ersten zwei Socken schwarz sind, reichen zwei.“ In der Frage steht „mit Sicherheit“, und genau das schließt Glück aus.
Was Sie sagen können
„Und wenn du so viel Pech hast wie nur möglich?“
Ein Wort der Frage geht verloren: Aus „zwei schwarze Socken“ wird „zwei Socken derselben Farbe“ oder aus „von jeder Farbe eine“ wird „eine Farbe“.
Was Sie sagen können
„Lies die Frage noch einmal. Was genau musst du mit Sicherheit haben?“
Das Kind spielt das größte Pech durch und hört dort auf, ohne das eine dazuzunehmen, das den Ausschlag gibt; oder es nimmt eins zu viel dazu.
Was Sie sagen können
„Was bringt das nächste Stück nach dem größten Pech?“
Stecken Sie Socken in zwei oder drei Farben in einen Beutel und ziehen Sie sie mit geschlossenen Augen heraus: Wie viele braucht man, bis ein Paar sicher ist? Probieren Sie es mehrmals. Das Glück wechselt, die Antwort nicht.
Wenn Ihr Kind sagt: „Das könnte passieren“, fragen Sie: „Und könnte es auch nicht passieren?“ Der Unterschied zwischen „kann“ und „muss“ ist das ganze Thema.
Suchen Sie gemeinsam Käfige in dem, was man im Alltag zählt: sieben Wochentage, zwölf Monate, vier Jahreszeiten. „Wir sind 30: Haben mit Sicherheit zwei von uns im selben Monat Geburtstag?“
Gib mir eine Aufgabe zum Thema „Schubfachprinzip“