例題1 · 5–6年生
パン屋さんのパン
パン屋さんがパンを60個焼きました。正午までにその半分が売れ、夕方までに残りの3分の2が売れました。パンは何個残っていますか。
60個の半分は30個なので、正午のあとに残っているのは30個です。
残りの3分の2とは、60個ではなく30個の3分の2です。夕方に売れたのは30 ÷ 3 × 2 = 20個です。
残りは30 − 20 = 10個です。
答え 10個です。
全体と部分5–6年生
部分と全体
リクがピザの3分の1を食べ、ユイが残りの半分を食べました。多く食べたのはどちらでしょうか。こうした分数の文章題では、分数はいつも何かの分数です。難しさの大部分は、それが何の分数なのか、つまり全体の分数なのか、残りの分数なのかを見きわめるところにあります。等分した紙の帯は、どんなルールよりもわかりやすく、それを見せてくれます。
- 解き方のカギ
- 全体を帯でかき、等分する
- 身につく力
- 「何の部分？」と問いかけ、部分から全体を求める力
部分のルール
何の部分？
分数はいつも、何かの分数です。「残りの4分の1」と「全体の4分の1」は違う数なので、まず、何の分数なのかを確かめてください。
1つ分から考える
20の3/4を求めるには、4でわって3つ分をとります。答えは15です。3/4が15になる全体を求めるには、3でわって1つ分を出し、4つ分をとります。答えは20です。
部分を合わせると全体になる
あげた分と残った分を合わせると、1つの全体になります。1/3と1/4をあげたら、残りは1 − 1/3 − 1/4 = 5/12です。
1つ分の大きさ
何を聞かれていても、まず1つ分の大きさを求め、それから必要な数だけ1つ分を集めてください。
| わかっていること | 帯と1つ分 | 求めるもの |
|---|---|---|
| 20の3/4 | 20 ÷ 4 = 5 | 3つ分で15 |
| ある数の3/4が15 | 15 ÷ 3 = 5 | ある数は4つ分で20 |
| ある数の2/5が14 | 14 ÷ 2 = 7 | ある数は5つ分で35 |
解き方：帯をかく
全体を長い帯でかき、分数の分母と同じ数に等分します。残りの何分のいくつかをとるときは、残りを新しい帯としてかきます。それから、1つ分の大きさを求めます。下の例題は、いちばんやさしい問題から算数オリンピックの問題へと進みます。
- 全体を帯でかく
- 等分し、必要なら残りもまた等分する
- 1つ分を求め、それから問題が聞いている分を求める
例題2 · 5–6年生
7等分した本
トモは月曜日に本の2/7を読み、火曜日に3/7を読みました。すると、残りは40ページになりました。この本は全部で何ページありますか。
2日間でトモが読んだのは本の2/7 + 3/7 = 5/7なので、残りは2/7です。
その2/7が40ページにあたります。7分の1は40 ÷ 2 = 20ページです。
本全体は7分の7なので、7 × 20 = 140ページです。
答え 140ページです。
例題3 · 5–6年生
市場の卵売り
おばあちゃんが市場で卵を売っています。1人目のお客さんは、卵の半分と、さらに半個を買いました。2人目のお客さんは、残った卵の半分と、さらに半個を買い、3人目のお客さんも同じように買いました。これで卵は全部売れました。卵をわった人はいません。おばあちゃんは卵を何個持っていましたか。
後ろから考えます。3人目のお客さんは、卵の半分とさらに半個を買い、卵は残りませんでした。つまり卵の半分が半個だったので、おばあちゃんの卵は1個でした。
2人目のお客さんの前も同じです。卵の半分とさらに半個が売れて1個残ったので、卵の半分は1個半で、卵は3個ありました。
1人目のお客さんの前は、卵の半分が3個半だったので、卵は7個ありました。確かめ：7 → 3 → 1 → 0。
答え 7個です。
つまずきやすいところ
MathTrail は、間違った答えを一つひとつ、どのひっかけにかかったのかから解説します。このテーマでよくあるひっかけを、お子さまへの声かけの例と一緒に紹介します。
- ひっかけ
部分と全体をとりちがえる
違う量をもとにして分数を求めてしまいます。残っている30個ではなく60個全部の3分の2を求めたり、残りの40ページをトモが読んだ分だと思ったりします。
声かけ
「何の3分の2？帯で指さしてみよう」
- ひっかけ
聞かれていないことに答える
途中で出てきた数が答えになってしまいます。残っているパンではなく夕方に売れた20個を答えたり、本全体ではなくトモが読んだ100ページを答えたりします。
声かけ
「問題がほんとうに聞いているのは何？」
- ひっかけ
とき方のとちゅうで止まる
解き方が、あと1歩のところで止まってしまいます。本の7分の1にあたる20ページを求めたのに本全体まで進まなかったり、正午までに売れたパンを引いたのに夕方の分を忘れたりします。
声かけ
「それが答え？それとも、答えまでのとちゅう？」
家庭でできること
一緒に切り分ける
りんごやピザ、紙を等分に切って、それぞれを「半分」「3分の1」「4分の1」のように呼んでみてください。それからいくつか取りのぞいて、残っているのは何分のいくつかを聞いてみてください。
何の部分？
レシピやゲームで分数が出てきたら、「何の3分の1？」と聞いてみてください。その答えが、問題のすべてということもよくあります。
帯
家で何かを分けるときはいつでも、一緒に帯をかいてみてください。細長い長方形を、同じ大きさのマスに区切ったものです。このテーマのどの問題にも使えます。
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