MathTrailParties d’un toutNiveaux 5–6
Basile mange un tiers d’une pizza, et Anna la moitié de ce qui reste. Qui en a mangé le plus ? Dans ces problèmes, une fraction est toujours une fraction de quelque chose, et l’essentiel de la difficulté est de savoir de quoi : du tout, ou de ce qui restait. Une bande de papier découpée en parts égales le montre mieux que n’importe quelle règle.
Une fraction est toujours une fraction de quelque chose. « Un quart du reste » et « un quart du tout » sont des nombres différents : cherchez donc d’abord de quoi on prend la fraction.
Pour trouver les 3/4 de 20, on divise par 4 et on prend 3 parts : 15. Pour trouver le tout quand ses 3/4 font 15, on divise par 3 pour avoir une part et on prend 4 parts : 20.
Ce qui est donné et ce qui reste forment ensemble un tout. Si l’on donne 1/3 et 1/4, il reste 1 − 1/3 − 1/4 = 5/12.
Quelle que soit la question, trouvez d’abord ce que vaut une part, puis prenez autant de parts qu’il en faut.
| On connaît | La bande et une part | On cherche |
|---|---|---|
| 3/4 de 20 | 20 : 4 = 5 | 3 parts, 15 |
| les 3/4 d’un nombre font 15 | 15 : 3 = 5 | le nombre, 4 parts, 20 |
| les 2/5 d’un nombre font 14 | 14 : 2 = 7 | le nombre, 5 parts, 35 |
Dessinez le tout comme une longue bande et découpez-la en autant de parts égales que l’indique le dénominateur de la fraction. Quand on prend une fraction de ce qui reste, dessinez ce qui reste comme une nouvelle bande. Puis trouvez ce que vaut une part. Les exemples ci-dessous vont du plus simple à un problème d’olympiade.
Exemple 1 · Niveaux 5–6
Un boulanger fait cuire 60 petits pains. Avant midi, il en vend la moitié, et le soir, les deux tiers du reste. Combien de petits pains reste-t-il ?
La moitié de 60 petits pains, c’est 30 : il reste donc 30 petits pains à midi.
Les deux tiers du reste, ce sont les deux tiers de 30, pas de 60 : le soir, on vend 30 : 3 × 2 = 20 petits pains.
Il reste 30 − 20 = 10 petits pains.
Réponse 10 petits pains.
Exemple 2 · Niveaux 5–6
Lundi, Tom lit 2/7 d’un livre, et mardi, 3/7. Il lui reste alors 40 pages. Combien de pages compte le livre ?
En deux jours, Tom lit 2/7 + 3/7 = 5/7 du livre, donc il en reste 2/7.
Ces 2/7, ce sont les 40 pages : un septième fait 40 : 2 = 20 pages.
Le livre entier, ce sont sept septièmes : 7 × 20 = 140 pages.
Réponse 140 pages.
Exemple 3 · Niveaux 5–6
Mamie vend des œufs au marché. Le premier client prend la moitié de ses œufs et encore un demi-œuf. Le deuxième prend la moitié des œufs qui restent et encore un demi-œuf, et le troisième fait de même. Après cela, tous les œufs sont vendus, et personne n’a cassé d’œuf. Combien d’œufs Mamie avait-elle ?
On part de la fin. Le troisième client a pris la moitié des œufs et encore un demi-œuf, et il ne restait rien : la moitié des œufs était donc un demi-œuf, et Mamie avait 1 œuf.
Avant le deuxième client, même chose : après la moitié des œufs et encore un demi-œuf, il restait 1 œuf, donc la moitié des œufs était un œuf et demi, et il y avait 3 œufs.
Avant le premier client, la moitié des œufs était trois œufs et demi, donc il y en avait 7. Vérification : 7 → 3 → 1 → 0.
Réponse 7 œufs.
MathTrail explique chaque mauvaise réponse par le piège dans lequel elle est tombée. Voici les plus fréquents dans ce thème, avec une phrase à dire à votre enfant.
La fraction est prise sur la mauvaise quantité : les deux tiers des 60 petits pains au lieu des 30 qui restent, ou les 40 pages qui restent sont prises pour la partie que Tom a lue.
Que lui dire
« Les deux tiers de quoi ? Montre-le sur la bande. »
Un nombre trouvé en chemin devient la réponse : les 20 petits pains vendus le soir au lieu de ceux qui restent, ou les 100 pages que Tom a lues au lieu du livre entier.
Que lui dire
« Que demande exactement la question ? »
La résolution s’arrête une étape trop tôt : on trouve un septième du livre, 20 pages, sans jamais remonter au livre entier ; ou on retire les petits pains vendus avant midi et on oublie ceux du soir.
Que lui dire
« Est-ce la réponse, ou une étape pour y arriver ? »
Découpez une pomme, une pizza ou une feuille de papier en parts égales et nommez-les : des moitiés, des tiers, des quarts. Puis retirez-en quelques-unes et demandez quelle part il reste.
Quand une fraction apparaît dans une recette ou un jeu, demandez : « Un tiers de quoi ? » La réponse est souvent tout le problème.
Dessinez ensemble la bande chaque fois qu’on partage quelque chose à la maison : un long rectangle découpé en cases égales. Elle convient à tous les problèmes de ce thème.
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