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Técnicas para resolver problemas de olimpíada de matemática

Um problema de olimpíada não vem com um método pronto. O que existe, em vez disso, são técnicas que funcionam em muitos problemas ao mesmo tempo. Aqui estão as 11 técnicas que mais aparecem, cada uma com um problema, um desenho e uma solução.

Tente resolver o problema junto com a criança antes de abrir a solução. O mais importante é perceber qual técnica funcionou, para reconhecê-la da próxima vez.

Por onde começar qualquer problema

Antes de escolher uma técnica, vale a pena passar por quatro passos. O matemático George Pólya os apresentou no seu livro A arte de resolver problemas (1945).

  1. Compreender o problema

    Diga com as suas palavras. O que você sabe? O que você precisa encontrar?

  2. Estabelecer um plano

    Com o que o problema se parece? Que técnica desta página você poderia tentar?

  3. Executar o plano

    Passo a passo, anotando o resultado de cada passo.

  4. Fazer um retrospecto

    Volte ao enunciado com a resposta. Tudo se encaixa? Poderia haver outra resposta?

Ver o problema

Primeiro é preciso entender o problema. Estas técnicas transformam as palavras num desenho, numa tabela ou num exemplo pequeno.

01

Desenhar o problema

Um desenho ou um esquema transforma as palavras em algo que se pode ver. Linhas, pontos e setas bastam; não precisa ficar bonito.

Quando ajuda: “tantos a mais que”, idades, percursos, partes de um todo.

Problema · Anos 1–2

Um irmão é 4 anos mais velho que a irmã. Juntos, eles têm 16 anos. Quantos anos tem o irmão?

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  1. Desenhe a idade da irmã como uma barra, e a do irmão como a mesma barra e mais 4 anos.

  2. Tire os 4 anos a mais: 16 − 4 = 12. São duas barras iguais.

  3. Uma barra vale 12 ÷ 2 = 6 anos: essa é a irmã. O irmão tem 6 + 4 = 10.

O esquema mostra o que é difícil guardar de cabeça: sem os quatro anos a mais, irmão e irmã têm a mesma idade.

Resposta O irmão tem 10 anos.

Nos temas:Calendário e idades

02

Fazer uma tabela

Quando há muitas pistas, é difícil guardar todas de cabeça. Uma tabela guarda as pistas por você: cada pista vira um X, e onde uma linha fica com um só quadradinho livre, ali está a resposta.

Quando ajuda: várias pessoas, várias coisas e pistas com “não”.

Problema · Anos 1–2

André, Bia e Vera têm um gato, um cachorro e um papagaio, um animal de estimação para cada um. André não tem o gato. Bia tem medo de cachorros. O gato não mora com Bia. Quem tem qual animal?

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  1. Marque um X para cada pista: André, não o gato; Bia, não o cachorro; o gato, não com Bia.

  2. Para Bia sobra um só quadradinho: o papagaio. Então nem André nem Vera têm o papagaio.

  3. André fica com o cachorro, e Vera com o gato.

O número pequeno num quadradinho é o passo da solução em que ele foi marcado.

Resposta André tem o cachorro; Bia, o papagaio; Vera, o gato.

Nos temas:Ordenação

03

Começar com números pequenos

Um caso particular

Quando os números são grandes e você não vê por onde começar, resolva o mesmo problema com números pequenos. Descubra a regra e depois aplique-a aos grandes.

Quando ajuda: números grandes, “cem”, “mil”, filas longas.

Problema · Anos 3–4

Ao longo de uma estrada de 100 metros, são colocados postes, um a cada 5 metros, inclusive nas duas pontas. Quantos postes são necessários?

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  1. Não dá para desenhar cem metros, então pegue uma estrada de 10 m. Postes em 0, 5 e 10 m: 3 postes para 2 espaços.

  2. Com 15 e 20 m é igual: sempre há um poste a mais do que espaços.

  3. Em 100 m há 100 ÷ 5 = 20 espaços, então há 21 postes.

A regra já aparece numa estrada curta; depois basta aplicá-la a cem metros.

Resposta 21 postes.

Nos temas:Intervalos e extremos

Encontrar a resposta

Quando já está claro o que acontece, estas técnicas levam à resposta sem perder nada pelo caminho.

04

Listar em ordem

Listar ao acaso acaba deixando algo de fora ou contando algo duas vezes. Listar em ordem é seguir um critério: primeiro uma característica, depois a seguinte. Uma árvore de possibilidades ajuda nisso.

Quando ajuda: “de quantas maneiras”, “quantos números”, “escreva todas as opções”.

Problema · Anos 1–2

Quantos números diferentes de dois algarismos podem ser formados com os algarismos 2, 4, 6 e 8, se nenhum algarismo se repete no mesmo número?

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  1. Escolha uma ordem: primeiro o algarismo das dezenas, depois o das unidades.

  2. O algarismo das dezenas é 2, 4, 6 ou 8. Cada um deixa outros três para as unidades.

  3. Escreva os números ramo por ramo: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86. Nenhum fica de fora, e nenhum se repete.

A árvore não deixa nada escapar: cada primeiro algarismo tem os seus próprios ramos.

Resposta 12 números.

Nos temas:Enumeração de casos

05

Começar pelo fim

De trás para a frente

Quando você sabe como a história termina e perguntam como ela começou, vá de trás para a frente. Troque cada ação pela contrária: “comeu” por “devolveu”, “multiplicou” por “dividiu”.

Quando ajuda: você sabe o resultado final e precisa descobrir o que havia no começo.

Problema · Anos 3–4

Havia algumas maçãs numa fruteira. Sofia comeu metade delas. Depois Pedro comeu metade do que sobrou, e mais uma maçã. Sobraram 2 maçãs. Quantas maçãs havia no começo?

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  1. Comece pelo que você sabe: no fim, havia 2 maçãs.

  2. Antes de Pedro: devolva a maçã a mais, 2 + 1 = 3. Isso era metade, então havia 6.

  3. Antes de Sofia: 6 era metade, então havia 12. Conferindo: 12 → 6 → 6 − 3 − 1 = 2.

Vá da direita para a esquerda e faça tudo ao contrário: “comeu metade” vira “vezes 2”, “comeu mais uma” vira “mais 1”.

Resposta 12 maçãs.

Nos temas:Aritmética com truqueBalanças e jarrasJogos com estratégia vencedora

06

Supor que todos são iguais

O método da suposição

Quando um problema tem coisas de dois tipos, imagine que todas são de um tipo só. Calcule em quanto o resultado erra, e você vai ver quantas é preciso trocar.

Quando ajuda: dois tipos de coisas e um total conhecido: cabeças e patas, moedas de dois valores.

Problema · Anos 3–4

Num quintal, há galinhas e coelhos passeando. Juntos, eles têm 10 cabeças e 28 patas. Quantos coelhos há no quintal?

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  1. Suponha que os 10 animais sejam todos galinhas. Então há 10 × 2 = 20 patas.

  2. Na verdade, há 28 patas: 8 a mais.

  3. Cada coelho no lugar de uma galinha acrescenta 2 patas: 8 ÷ 2 = 4 coelhos. Conferindo: 4 × 4 + 6 × 2 = 28.

Primeiro conte como se fossem todos iguais, depois troque exatamente quantos forem necessários para a conta bater.

Resposta 4 coelhos.

07

Procurar um padrão

Olhe os primeiros passos e encontre o que se repete. O trecho que se repete deixa você pular bem para a frente sem desenhar tudo o que fica no meio.

Quando ajuda: padrões, sequências, o calendário: “qual será o vigésimo”, “qual será o centésimo”.

Problema · Anos 1–2

Bandeiras estão penduradas nesta ordem: vermelha, amarela, verde, azul, depois de novo vermelha, amarela, verde, azul, e assim por diante. De que cor é a 23ª bandeira?

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  1. Encontre o trecho que se repete: vermelha, amarela, verde, azul, quatro bandeiras.

  2. 23 bandeiras são 5 grupos completos de quatro, ou seja, 20 bandeiras, e mais 3.

  3. A 23ª é a terceira do grupo de quatro a que pertence, e a terceira é sempre verde.

Não é preciso desenhar vinte e três bandeiras: basta ver que lugar a bandeira ocupa no grupo de quatro a que pertence.

Resposta Verde.

Nos temas:Paridade e alternânciaCalendário e idades

Provar

Numa olimpíada, muitas vezes a pergunta não é “quantos”, mas “pode acontecer”. Aí não basta contar: é preciso explicar por que não pode ser de outro jeito.

08

Supor o contrário

Redução ao absurdo

Para provar que algo é impossível, suponha que seja possível e siga o raciocínio até esbarrar numa contradição. Quase todo problema de cavaleiros e mentirosos se resolve assim.

Quando ajuda: “pode acontecer”, “prove que é impossível”, quem está dizendo a verdade.

Problema · Anos 3–4

Numa ilha vivem cavaleiros, que sempre dizem a verdade, e mentirosos, que sempre mentem. André disse: “Bia é mentirosa.” Bia disse: “André e eu somos ambos cavaleiros.” Quem é quem?

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  1. Suponha que Bia esteja entre os cavaleiros. Então as palavras dela são verdadeiras, e André também é cavaleiro. Mas André, sendo cavaleiro, disse que Bia é mentirosa. Contradição.

  2. Então Bia é mentirosa, e as palavras dela são falsas: não é verdade que André e ela sejam ambos cavaleiros. Isso se encaixa.

  3. André disse “Bia é mentirosa”, e isso é verdade. Só um cavaleiro diz coisas verdadeiras, então André é cavaleiro.

Um caminho leva a um beco sem saída, então o outro é o certo.

Resposta André é cavaleiro, e Bia é mentirosa.

Nos temas:Cavaleiros e mentirosos

09

Observar a paridade

Às vezes não é preciso saber tudo: basta saber se um número é par ou ímpar. Se algo alterna entre par e ímpar a cada passo, o número de passos mostra na hora onde você pode ir parar e onde não pode.

Quando ajuda: saltos, jogadas, trocas, “um sim, outro não”, “é possível”.

Problema · Anos 3–4

Um gafanhoto está no zero de uma reta numérica. Cada salto o leva exatamente 1 para a esquerda ou para a direita. Ele pode voltar ao zero depois de 5 saltos?

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  1. Pinte as casas alternando: pares e ímpares.

  2. Cada salto muda a cor: de uma casa par para uma ímpar, e vice-versa.

  3. Depois de 5 saltos, um número ímpar, o gafanhoto com certeza está numa casa ímpar, e o zero é par.

Não é preciso acompanhar aonde exatamente o gafanhoto foi: basta acompanhar a cor da casa dele.

Resposta Não, não pode.

Nos temas:Paridade e alternância

10

Pombos e casas

O princípio da casa dos pombos

Se há mais pombos do que casas, alguma casa fica com pelo menos dois pombos. Soa óbvio, mas prova coisas que parecem impossíveis de verificar.

Quando ajuda: “prove que tem que haver”, “pelo menos dois”, “com certeza”.

Problema · Anos 3–4

Quantas vezes é preciso lançar um dado para ter certeza de que algum número sai pelo menos duas vezes?

Mostrar a soluçãoEsconder a solução

  1. Um dado tem 6 números: são 6 “casas”. Os lançamentos são os “pombos”.

  2. Depois de 6 lançamentos, os números ainda podem ser todos diferentes: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

  3. Para o sétimo lançamento já não sobra nenhuma casa livre: algum número sai pela segunda vez. Então, 7 lançamentos.

Mesmo que os seis primeiros lançamentos sejam todos diferentes, o sétimo tem que repetir um deles.

Resposta 7 lançamentos.

Nos temas:Princípio da casa dos pombos

11

Espelhar as jogadas

Uma estratégia simétrica

Em jogos de dois jogadores, muitas vezes ganha quem consegue espelhar as jogadas do outro. Assim você sempre tem uma resposta, enquanto o adversário tiver uma jogada.

Quando ajuda: jogos de dois jogadores: “quem ganha jogando certo”.

Problema · Anos 5–6

Uma tira tem 9 casas. Dois jogadores se revezam colocando uma ficha numa casa vazia que não esteja ao lado de uma casa ocupada. Perde quem não conseguir colocar uma ficha. Onde o primeiro jogador deve colocar a primeira ficha para ganhar, não importa como o outro jogue?

Mostrar a soluçãoEsconder a solução

  1. Na primeira jogada, coloque uma ficha no meio, na quinta casa.

  2. Responda a cada jogada do adversário com o reflexo dela: a casa oposta, do outro lado do meio.

  3. Se a casa do adversário estava livre e sem ficha ao lado, a casa espelhada também está. Então quem fica sem jogadas primeiro é o adversário.

Uma tira tem um só meio, e cada uma das outras casas tem um reflexo. Por isso o primeiro jogador nunca fica sem jogadas.

Resposta No meio, na 5ª casa, e depois espelhe cada jogada.

Nos temas:Jogos com estratégia vencedora

Qual técnica tentar

Uma dica a partir das palavras do enunciado. Não é uma regra: muitos problemas se resolvem com duas técnicas ao mesmo tempo.

Se o problema tem……tente

“tantos a mais que”, idades, partes de um todo
01Desenhar o problema
muitas pessoas, coisas e pistas com “não”
02Fazer uma tabela
números grandes, e nenhuma ideia de por onde começar
03Começar com números pequenos
“de quantas maneiras”, “quantos números”
04Listar em ordem
o fim é conhecido, e a pergunta é o começo
05Começar pelo fim
dois tipos de coisas e um total
06Supor que todos são iguais
algo que se repete: “qual será o vigésimo”
07Procurar um padrão
“pode acontecer”, “prove que é impossível”
08Supor o contrário09Observar a paridade
“com certeza”, “pelo menos dois”
10Pombos e casas
um jogo para dois: “quem ganha”
11Espelhar as jogadas