Quantos números é possível escrever com estes algarismos? Quantos apertos de mão, combinações de roupa ou maneiras de ficar em fila? Nestes problemas de contagem, cada caso é listado numa ordem que garante que nenhum se perca e nenhum seja contado duas vezes. Uma lista que segue uma regra é a primeira ferramenta da criança diante de perguntas grandes demais para adivinhar.
A ideia-chave
Listar os casos seguindo uma regra
O que ensina
A trabalhar com ordem e a perceber quando dá para contar os casos sem listá-los
Quantos números de dois algarismos diferentes se formam com 1, 2 e 3?123↓ listados por uma regra: começando pelo primeiro algarismo
1212313212132331312323 opções para o primeiro algarismo × 2 para o segundo = 6 números
As regras de uma lista
A primeiroABACB primeiroBABC?C primeiroCACB
Em ordem
Ordene os casos antes de escrevê-los: pela primeira letra e depois pela segunda. Numa lista em ordem, um caso que falta deixa uma lacuna visível.
LT1 aperto de mãoLTTL2 filas
Cada caso uma só vez
Antes de contar, decida o que torna dois casos diferentes. O aperto de mão entre Lívia e Tomás é um só, mas Lívia na frente de Tomás e Tomás na frente de Lívia são duas filas diferentes.
3 × 2 = 6 conjuntos
As escolhas se multiplicam
Quando um caso se forma com escolhas feitas uma depois da outra, uma xícara e depois um pires, conte multiplicando: 3 xícaras e 2 pires dão 3 × 2 = 6 conjuntos.
A ordem importa?
As mesmas três crianças, A, B e C, dão contagens diferentes para perguntas diferentes.
A pergunta
A ordem importa?
Os casos
De quantas maneiras elas podem ficar em fila?
SimAB e BA são duas filasSim: AB e BA são duas filas
Quantas duplas podem ser escolhidas para levar um recado?
NãoAB e BA são a mesma duplaNão: AB e BA são a mesma dupla
ABACBC= 3AB, AC, BC — 3
De quantas maneiras dá para escolher quem lidera e quem ajuda?
Simquem lidera vem primeiro (maior)Sim: quem lidera vem primeiro (maior)
ABACBABCCACB= 6AB, AC, BA, BC, CA, CB — 6
Como resolver: uma lista com regra
Primeiro, crie uma regra: o que vem antes na lista e o que vem depois. Depois, escreva os casos seguindo essa regra, ou conte-os assim que a regra mostrar um padrão. Os exemplos abaixo vão do mais simples a um de olimpíada.
1Decidir o que torna dois casos diferentes
2Listar os casos seguindo uma regra
3Contar os casos, ou multiplicar quando as escolhas vêm uma depois da outra
uma moldura azul: o que este passo acrescenta
Exemplo 1 · Anos 1–2
Bandeiras de duas listras
Uma bandeira tem duas listras, uma em cima da outra. Cada listra é vermelha, amarela ou verde, e as duas listras têm cores diferentes. Quantas bandeiras diferentes existem?
três tintas, listras de cores diferentes
1Ordene as bandeiras pela listra de cima. Com a vermelha em cima, a de baixo é amarela ou verde: duas bandeiras.
vermelha em cima
2Com a amarela em cima, embaixo vai a vermelha ou a verde: mais duas. Com a verde em cima, a vermelha ou a amarela: mais duas.
vermelhaamarelaverde
33 cores para a listra de cima e, a cada vez, sobram 2 para a de baixo: 3 × 2 = 6 bandeiras.
em cima ↓embaixo →×123×456××: a mesma cor duas vezes não é permitida, 9 − 3 = 6
Resposta66 bandeiras.
Exemplo 2 · Anos 3–4
Algarismos com diferença de três
Em quantos números de dois algarismos a diferença entre os algarismos é 3, como em 14 ou 30?
1430dezenas e unidades com diferença de 3
1Percorra o algarismo das dezenas de 1 a 9 e escreva ao lado dele cada algarismo das unidades que fica a 3 de distância: 1 → 4; 2 → 5; 3 → 0 e 6; 4 → 1 e 7; e assim por diante.
em cima, as dezenas; embaixo, as unidades que servem
2Com 3, 4, 5 ou 6 nas dezenas, há dois números para cada um, 3 abaixo e 3 acima. Com 1, 2, 7, 8 ou 9, só um: o outro não seria um algarismo.
Quantos números de quatro algarismos é possível escrever só com os algarismos 1 e 2, sem que dois 2 fiquem um ao lado do outro?
1212✓1221✕dois 2 lado a lado não são permitidos
1São números demais para adivinhar, então monte-os algarismo por algarismo. Com um algarismo: 1 e 2, dois números. Com dois algarismos: 11, 12 e 21, três, já que 22 não é permitido.
1 algarismo122 algarismos11122122
2Um número permitido termina em 1 ou em 2. Se termina em 1, é qualquer número permitido com um algarismo a menos, com um 1 no fim. Se termina em 2, o algarismo anterior tem que ser 1: é qualquer número permitido com dois algarismos a menos, com 12 no fim. Então cada contagem é a soma das duas anteriores: com três algarismos são 3 + 2 = 5, e com quatro, 5 + 3 = 8.
O MathTrail explica cada resposta errada pela armadilha em que ela caiu. Estas são as mais comuns neste tema, com algo que você pode dizer à criança.
Armadilha
Caso esquecido ao enumerar
A criança escreve os casos conforme vêm à cabeça e perde um, muitas vezes um com 0 ou com um algarismo repetido.
Algarismos com diferença de 3Criança1425?36…Certo14253036…
O que dizer
“Em que ordem você escreveu os casos? Vamos escrever tudo de novo seguindo uma regra.”
Armadilha
Operação errada
A criança soma onde as escolhas se multiplicam, e assim 3 camisas e 2 cachecóis dão 5, ou multiplica onde se escolhe uma dupla e ninguém faz dupla consigo mesmo.
3 camisas e 2 cachecóisCriança3+2=5Certo3×2=6
O que dizer
“Pegue uma camisa: quantas combinações dá para montar com ela? E quantas camisas há?”
Armadilha
A mesma coisa contada duas vezes
O aperto de mão de Lívia com Tomás e o de Tomás com Lívia são contados como dois, mas são um só.
CriançaLTTL= 2CertoLT= 1
O que dizer
“Esse caso é igual a algum que já temos?”
Como ajudar em casa
01
Vista um brinquedo
Dê à criança dois chapéus e três cachecóis para um brinquedo e pergunte de quantas maneiras dá para vesti-lo. Depois, peça a lista e confira junto com a criança.
02
Pergunte pela regra
Quando a criança listar casos, pergunte: “Em que ordem você está escrevendo?” Uma lista com regra é uma lista que dá para conferir.
03
Um cadeado com senha
Invente um cadeado com uma senha de dois algarismos, cada um 1, 2 ou 3, e deixe a criança descobrir quantas senhas um ladrão teria que testar.
