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Problemlösetechniken für Olympiade-Mathematik

Eine Olympiade-Aufgabe bringt kein fertiges Lösungsverfahren mit. Dafür gibt es Techniken, die bei vielen Aufgaben zugleich funktionieren. Hier sind die 11 Techniken, die am häufigsten vorkommen, jeweils mit einer Aufgabe, einer Zeichnung und einer Lösung.

Versuchen Sie sich mit Ihrem Kind an der Aufgabe, bevor Sie die Lösung öffnen. Am wichtigsten ist es, zu bemerken, welche Technik geholfen hat, damit man sie beim nächsten Mal wiedererkennt.

Wie man jede Aufgabe angeht

Bevor Sie eine Technik wählen, hilft es, vier Schritte zu durchlaufen. Der Mathematiker George Pólya hat sie in seinem Buch Schule des Denkens (1945) beschrieben.

  1. Die Aufgabe verstehen

    Erzähl die Aufgabe mit deinen eigenen Worten nach. Was weißt du? Was ist gesucht?

  2. Einen Plan ausdenken

    Woran erinnert dich die Aufgabe? Welche Technik von dieser Seite könntest du ausprobieren?

  3. Den Plan ausführen

    Geh Schritt für Schritt vor und schreib auf, was jeder Schritt ergibt.

  4. Rückschau halten

    Setz die Antwort in die Aufgabe ein. Passt alles? Könnte es noch eine andere Antwort geben?

Die Aufgabe veranschaulichen

Zuerst muss man die Aufgabe verstehen. Diese Techniken machen aus Worten ein Bild, eine Tabelle oder ein kleines Beispiel.

01

Die Aufgabe zeichnen

Ein Bild oder eine Skizze macht aus Worten etwas, das man ansehen kann. Linien, Punkte und Pfeile genügen; schön muss es nicht sein.

Wann es hilft: „um … mehr als“, Alter, Fahrten, Teile eines Ganzen.

Aufgabe · Klassen 1–2

Ein Bruder ist 4 Jahre älter als seine Schwester. Zusammen sind sie 16 Jahre alt. Wie alt ist der Bruder?

Lösung zeigenLösung ausblenden

  1. Das Alter der Schwester als Balken zeichnen, das des Bruders als gleich langen Balken und 4 Jahre mehr.

  2. Die zusätzlichen 4 Jahre wegnehmen: 16 − 4 = 12. Das sind zwei gleiche Balken.

  3. Ein Balken ist 12 ÷ 2 = 6 Jahre: Das ist die Schwester. Der Bruder ist 6 + 4 = 10.

Die Skizze zeigt, was man schwer im Kopf behält: Ohne die zusätzlichen vier Jahre sind Bruder und Schwester gleich alt.

Antwort Der Bruder ist 10 Jahre alt.

In den Themen:Kalender und Alter

02

Eine Tabelle anlegen

Wenn es viele Hinweise gibt, behält man sie schwer im Kopf. Eine Tabelle merkt sie sich für Sie: Jeder Hinweis ist ein Kreuz, und wo in einer Zeile nur noch ein Kästchen frei ist, steht die Antwort.

Wann es hilft: mehrere Personen, mehrere Dinge und Hinweise mit „nicht“.

Aufgabe · Klassen 1–2

Anton, Bea und Vera haben eine Katze, einen Hund und einen Papagei, jedes Kind genau ein Tier. Anton hat nicht die Katze. Bea hat Angst vor Hunden. Die Katze wohnt nicht bei Bea. Wer hat welches Tier?

Lösung zeigenLösung ausblenden

  1. Für jeden Hinweis ein Kreuz setzen: Anton – nicht die Katze; Bea – nicht der Hund; die Katze – nicht bei Bea.

  2. Bei Bea ist nur noch ein Kästchen frei: der Papagei. Also hat weder Anton noch Vera den Papagei.

  3. Für Anton bleibt der Hund, für Vera die Katze.

Die kleine Zahl in einem Kästchen ist der Schritt der Lösung, in dem es markiert wurde.

Antwort Anton hat den Hund, Bea den Papagei, Vera die Katze.

In den Themen:Reihenfolgen

03

Mit kleinen Zahlen beginnen

Ein Spezialfall

Wenn die Zahlen groß sind und Sie nicht sehen, wo Sie anfangen sollen, lösen Sie dieselbe Aufgabe mit kleinen Zahlen. Erkennen Sie die Regel und wenden Sie sie dann auf die großen an.

Wann es hilft: große Zahlen, „hundert“, „tausend“, lange Reihen.

Aufgabe · Klassen 3–4

Entlang einer 100 Meter langen Straße werden Pfosten aufgestellt, alle 5 Meter einer, auch an beiden Enden. Wie viele Pfosten braucht man?

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  1. Hundert Meter lassen sich nicht zeichnen, also eine Straße von 10 m nehmen. Pfosten bei 0, 5 und 10 m: 3 Pfosten für 2 Zwischenräume.

  2. Bei 15 und 20 m ist es genauso: Es gibt immer einen Pfosten mehr als Zwischenräume.

  3. Auf 100 m gibt es 100 ÷ 5 = 20 Zwischenräume, also 21 Pfosten.

Die Regel zeigt sich schon an einer kurzen Straße; dann genügt es, sie auf hundert Meter anzuwenden.

Antwort 21 Pfosten.

In den Themen:Pfosten und Zwischenräume

Die Antwort finden

Wenn klar ist, worum es geht, führen diese Techniken zur Antwort, ohne dass unterwegs etwas verloren geht.

04

Systematisch auflisten

Beim Auflisten aufs Geratewohl wird bestimmt etwas übersehen oder doppelt gezählt. Systematisch auflisten heißt, der Reihe nach vorzugehen: erst nach einem Merkmal, dann nach dem nächsten. Ein Baumdiagramm hilft dabei.

Wann es hilft: „auf wie viele Arten“, „wie viele Zahlen“, „schreib alle Möglichkeiten auf“.

Aufgabe · Klassen 1–2

Wie viele verschiedene zweistellige Zahlen kann man aus den Ziffern 2, 4, 6 und 8 bilden, wenn keine Ziffer in einer Zahl zweimal vorkommt?

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  1. Eine Reihenfolge wählen: erst die Zehnerziffer, dann die Einerziffer.

  2. Die Zehnerziffer ist 2, 4, 6 oder 8. Jede lässt drei andere für die Einer übrig.

  3. Ast für Ast aufschreiben: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86. Keine fehlt, und keine kommt doppelt vor.

Im Baum geht nichts verloren: Jede erste Ziffer hat ihre eigenen Äste.

Antwort 12 Zahlen.

In den Themen:Systematisches Probieren

05

Vom Ende her rechnen

Rückwärtsarbeiten

Wenn Sie wissen, wie die Geschichte endet, und gefragt wird, wie sie begann, gehen Sie rückwärts. Machen Sie aus jeder Handlung ihr Gegenteil: Aus „aß“ wird „gab zurück“, aus „multiplizierte“ wird „teilte“.

Wann es hilft: Man kennt das Ergebnis am Ende und sucht, was am Anfang war.

Aufgabe · Klassen 3–4

In einer Schale lagen Äpfel. Tilda aß die Hälfte davon. Dann aß Moritz die Hälfte vom Rest und noch einen Apfel. Übrig blieben 2 Äpfel. Wie viele Äpfel lagen am Anfang in der Schale?

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  1. Mit dem Bekannten beginnen: Am Ende waren es 2 Äpfel.

  2. Bevor Moritz aß: den einen Apfel zurückgeben, 2 + 1 = 3. Das war die Hälfte, also waren es 6.

  3. Bevor Tilda aß: 6 war die Hälfte, also waren es 12. Probe: 12 → 6 → 6 − 3 − 1 = 2.

Von rechts nach links gehen und alles umgekehrt machen: Aus „aß die Hälfte“ wird „mal 2“, aus „aß noch einen“ wird „plus 1“.

Antwort 12 Äpfel.

In den Themen:Knifflige RechenaufgabenWiegen und UmfüllenSpiele mit Gewinnstrategie

06

Annehmen, alle seien gleich

Rechnen mit einer Annahme

Wenn in einer Aufgabe Dinge von zwei Arten vorkommen, stellen Sie sich vor, alle wären von einer Art. Zählen Sie, um wie viel das Ergebnis danebenliegt, und Sie sehen, wie viele ausgetauscht werden müssen.

Wann es hilft: zwei Arten von Dingen und eine bekannte Gesamtzahl: Köpfe und Beine, Münzen mit zwei Werten.

Aufgabe · Klassen 3–4

Auf einem Hof laufen Hühner und Kaninchen herum. Zusammen haben sie 10 Köpfe und 28 Beine. Wie viele Kaninchen sind auf dem Hof?

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  1. Angenommen, alle 10 sind Hühner. Dann gibt es 10 × 2 = 20 Beine.

  2. In Wirklichkeit sind es 28 Beine: 8 mehr.

  3. Jedes Kaninchen anstelle eines Huhns bringt 2 Beine mehr: 8 ÷ 2 = 4 Kaninchen. Probe: 4 × 4 + 6 × 2 = 28.

Erst so zählen, als wären alle gleich, dann genau so viele austauschen, wie nötig sind, damit es passt.

Antwort 4 Kaninchen.

07

Ein Muster suchen

Sehen Sie sich die ersten Schritte an und finden Sie heraus, was sich wiederholt. Mit dem Stück, das sich wiederholt, können Sie weit vorausspringen, ohne alles dazwischen zu zeichnen.

Wann es hilft: Muster, Reihen, der Kalender: „welches ist das zwanzigste“, „welches ist das hundertste“.

Aufgabe · Klassen 1–2

Flaggen hängen der Reihe nach: rot, gelb, grün, blau, dann wieder rot, gelb, grün, blau und so weiter. Welche Farbe hat die 23. Flagge?

Lösung zeigenLösung ausblenden

  1. Das Stück finden, das sich wiederholt: rot, gelb, grün, blau, vier Flaggen.

  2. 23 Flaggen sind 5 volle Vierergruppen, also 20 Flaggen, und noch 3.

  3. Die 23. ist die dritte in ihrer Vierergruppe, und die dritte ist immer grün.

Dreiundzwanzig Flaggen muss man nicht zeichnen: Es genügt zu sehen, welchen Platz die Flagge in ihrer Vierergruppe einnimmt.

Antwort Grün.

In den Themen:Parität und abwechselnde MusterKalender und Alter

Beweisen

Bei einer Olympiade lautet die Frage oft nicht „wie viele“, sondern „kann es passieren“. Dann reicht Zählen nicht: Man muss erklären, warum es nicht anders sein kann.

08

Das Gegenteil annehmen

Widerspruchsbeweis

Um zu beweisen, dass etwas unmöglich ist, nehmen Sie an, es sei möglich, und folgen Sie der Überlegung, bis Sie auf einen Widerspruch stoßen. Fast jede Aufgabe zum Thema „Ritter und Lügner“ wird so gelöst.

Wann es hilft: „kann es passieren“, „beweise, dass es unmöglich ist“, wer die Wahrheit sagt.

Aufgabe · Klassen 3–4

Auf einer Insel leben Ritter, die immer die Wahrheit sagen, und Lügner, die immer lügen. Anton sagte: „Bea ist eine Lügnerin.“ Bea sagte: „Anton und ich sind beide Ritter.“ Wer ist wer?

Lösung zeigenLösung ausblenden

  1. Angenommen, Bea sagt die Wahrheit. Dann sind Anton und sie, wie sie sagt, beide Ritter. Doch Anton, ein Ritter, hat gesagt, dass Bea eine Lügnerin ist. Ein Widerspruch.

  2. Also ist Bea eine Lügnerin, und ihre Worte sind falsch: Anton und sie sind nicht beide Ritter. Das passt.

  3. Anton sagte: „Bea ist eine Lügnerin“, und das stimmt. Wahres sagt nur ein Ritter, also ist Anton ein Ritter.

Ein Weg führt in eine Sackgasse, also ist der andere richtig.

Antwort Anton ist ein Ritter, und Bea ist eine Lügnerin.

In den Themen:Ritter und Lügner

09

Auf die Parität achten

Manchmal muss man nicht alles wissen: Es genügt zu wissen, ob eine Zahl gerade oder ungerade ist. Wechselt etwas bei jedem Schritt zwischen gerade und ungerade, verrät die Zahl der Schritte sofort, wo man landen kann und wo nicht.

Wann es hilft: Sprünge, Züge, Vertauschungen, „jedes zweite“, „kann das herauskommen“.

Aufgabe · Klassen 3–4

Ein Grashüpfer sitzt auf einem Zahlenstrahl bei der Null. Jeder Sprung bringt ihn genau um 1 nach links oder nach rechts. Kann er nach 5 Sprüngen wieder bei der Null sein?

Lösung zeigenLösung ausblenden

  1. Die Felder abwechselnd färben: gerade und ungerade.

  2. Jeder Sprung wechselt die Farbe: von einem geraden Feld auf ein ungerades und zurück.

  3. Nach 5 Sprüngen, einer ungeraden Zahl, sitzt der Grashüpfer mit Sicherheit auf einem ungeraden Feld, und die Null ist gerade.

Man muss nicht verfolgen, wohin genau der Grashüpfer gesprungen ist: Es genügt, die Farbe seines Feldes zu verfolgen.

Antwort Nein, das kann er nicht.

In den Themen:Parität und abwechselnde Muster

10

Tauben und Käfige

Das Schubfachprinzip

Gibt es mehr Tauben als Käfige, sitzen in irgendeinem Käfig mindestens zwei Tauben. Das klingt selbstverständlich, beweist aber Dinge, die unmöglich nachzuprüfen scheinen.

Wann es hilft: „beweise, dass es … geben muss“, „mindestens zwei“, „mit Sicherheit“.

Aufgabe · Klassen 3–4

Wie oft musst du würfeln, um sicher zu sein, dass irgendeine Zahl mindestens zweimal fällt?

Lösung zeigenLösung ausblenden

  1. Ein Würfel hat 6 Zahlen: Das sind 6 „Käfige“. Die Würfe sind die „Tauben“.

  2. Nach 6 Würfen können die Zahlen noch alle verschieden sein: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

  3. Für den siebten Wurf ist kein Käfig mehr frei: Eine Zahl fällt zum zweiten Mal. Also 7 Würfe.

Selbst wenn die ersten sechs Würfe alle verschieden sind, muss der siebte einen von ihnen wiederholen.

Antwort 7 Würfe.

In den Themen:Schubfachprinzip

11

Züge spiegeln

Eine Symmetriestrategie

Bei Spielen zu zweit gewinnt oft, wer die Züge des Gegenübers spiegeln kann. Dann hat man immer einen Gegenzug, solange das Gegenüber einen Zug hat.

Wann es hilft: Spiele zu zweit: „wer gewinnt bei richtigem Spiel“.

Aufgabe · Klassen 5–6

Ein Streifen hat 9 Kästchen. Zwei spielen gegeneinander und legen abwechselnd einen Spielstein in ein leeres Kästchen, das nicht neben einem besetzten liegt. Wer keinen Stein mehr legen kann, verliert. Wohin muss, wer anfängt, den ersten Stein legen, um zu gewinnen, egal wie das Gegenüber spielt?

Lösung zeigenLösung ausblenden

  1. Mit dem ersten Zug einen Stein in die Mitte legen, ins fünfte Kästchen.

  2. Jeden Zug des Gegenübers spiegelbildlich beantworten: mit dem Kästchen gegenüber, auf der anderen Seite der Mitte.

  3. War das Kästchen des Gegenübers frei und lag nicht neben einem Stein, gilt das auch für das gespiegelte Kästchen. Also gehen dem Gegenüber zuerst die Züge aus.

Ein Streifen hat nur eine Mitte, und jedes andere Kästchen hat ein Spiegelbild. Deshalb hat, wer anfängt, immer noch einen Zug.

Antwort In die Mitte, ins 5. Kästchen, und danach jeden Zug spiegeln.

In den Themen:Spiele mit Gewinnstrategie

Welche Technik sich anbietet

Ein Anhaltspunkt aus dem Wortlaut der Aufgabe. Keine Regel: Viele Aufgaben lassen sich mit zwei Techniken zugleich knacken.

In der Aufgabe……versuchen Sie

„um … mehr als“, Alter, Teile eines Ganzen
01Die Aufgabe zeichnen
viele Personen, Dinge und Hinweise mit „nicht“
02Eine Tabelle anlegen
große Zahlen und keine Ahnung, wo man anfangen soll
03Mit kleinen Zahlen beginnen
„auf wie viele Arten“, „wie viele Zahlen“
04Systematisch auflisten
das Ende ist bekannt, gefragt ist der Anfang
05Vom Ende her rechnen
zwei Arten von Dingen und eine Gesamtzahl
06Annehmen, alle seien gleich
etwas wiederholt sich: „welches ist das zwanzigste“
07Ein Muster suchen
„kann es passieren“, „beweise, dass es unmöglich ist“
08Das Gegenteil annehmen09Auf die Parität achten
„mit Sicherheit“, „mindestens zwei“
10Tauben und Käfige
ein Spiel zu zweit: „wer gewinnt“
11Züge spiegeln