Wie viele Zahlen lassen sich mit diesen Ziffern schreiben? Wie viele Handschläge, Kleiderkombinationen oder Möglichkeiten, sich in einer Reihe aufzustellen? In diesen Aufgaben der Kombinatorik wird jeder Fall in einer Reihenfolge aufgelistet, die sicherstellt, dass keiner verloren geht und keiner doppelt gezählt wird. Eine Liste nach einer Regel ist das erste Werkzeug, das ein Kind für Fragen hat, die zu groß zum Raten sind.
Der Kniff
Die Fälle nach einer Regel auflisten
Was man dabei lernt
Geordnet vorgehen und erkennen, wann sich Fälle zählen lassen, ohne sie aufzulisten
Wie viele zweistellige Zahlen mit verschiedenen Ziffern aus 1, 2 und 3 gibt es?123↓ nach einer Regel aufgelistet: zuerst die erste Ziffer
1212313212132331312323 Möglichkeiten für die erste Ziffer × 2 für die zweite = 6 Zahlen
Die Regeln einer Liste
A zuerstABACB zuerstBABC?C zuerstCACB
Der Reihe nach
Ordnen Sie die Fälle, bevor Sie sie aufschreiben: nach dem ersten Buchstaben, dann nach dem zweiten. In einer geordneten Liste hinterlässt ein fehlender Fall eine sichtbare Lücke.
LT1 HandschlagLTTL2 Reihen
Jeder Fall einmal
Legen Sie vor dem Zählen fest, wodurch sich zwei Fälle unterscheiden. Wenn Lea und Tom sich die Hand geben, ist das ein Handschlag, aber Lea vor Tom und Tom vor Lea sind zwei verschiedene Reihen.
3 × 2 = 6 Kombinationen
Möglichkeiten werden multipliziert
Setzt sich ein Fall aus Entscheidungen nacheinander zusammen, erst eine Tasse und dann eine Untertasse, zählen Sie durch Multiplizieren: 3 Tassen und 2 Untertassen ergeben 3 × 2 = 6 Kombinationen.
Kommt es auf die Reihenfolge an?
Bei denselben drei Kindern, A, B und C, führen verschiedene Fragen zu verschiedenen Anzahlen.
Die Frage
Kommt es auf die Reihenfolge an?
Die Fälle
Auf wie viele Arten können sie sich in einer Reihe aufstellen?
JaAB und BA sind zwei ReihenJa: AB und BA sind zwei Reihen
Wie viele Paare kann man auf einen Botengang schicken?
NeinAB und BA sind dasselbe PaarNein: AB und BA sind dasselbe Paar
ABACBC= 3AB, AC, BC – 3
Auf wie viele Arten kann man wählen, wer anführt und wer hilft?
JaWer anführt, kommt zuerst (größer)Ja: Wer anführt, kommt zuerst (größer)
ABACBABCCACB= 6AB, AC, BA, BC, CA, CB – 6
Lösungsweg: eine Liste nach einer Regel
Legen Sie vorab eine Regel fest: was in der Liste zuerst kommt und was danach. Schreiben Sie dann die Fälle nach dieser Regel auf, oder zählen Sie sie, sobald die Regel ein Muster zeigt. Die Beispiele unten reichen von ganz einfach bis Olympiade-Niveau.
1Festlegen, wodurch sich zwei Fälle unterscheiden
2Die Fälle nach einer Regel auflisten
3Die Fälle zählen oder multiplizieren, wenn nacheinander ausgewählt wird
ein blauer Rahmen: neu in diesem Schritt
Beispiel 1 · Klassen 1–2
Flaggen aus zwei Streifen
Eine Flagge hat zwei Streifen, einen über dem anderen. Jeder Streifen ist rot, gelb oder grün, und die beiden Streifen haben verschiedene Farben. Wie viele verschiedene Flaggen gibt es?
drei Farben, die Streifen verschiedenfarbig
1Die Flaggen nach dem oberen Streifen ordnen. Ist er rot, ist der untere gelb oder grün: zwei Flaggen.
oben rot
2Ist der obere gelb, ist der untere rot oder grün: zwei weitere. Ist der obere grün, dann rot oder gelb: noch zwei.
rotgelbgrün
33 Farben für oben und jedes Mal 2 übrige für unten: 3 × 2 = 6 Flaggen.
oben ↓unten →×123×456××: zweimal dieselbe Farbe ist nicht erlaubt, 9 − 3 = 6
Antwort66 Flaggen.
Beispiel 2 · Klassen 3–4
Ziffern im Abstand drei
Wie viele zweistellige Zahlen haben Ziffern, die sich um 3 unterscheiden, wie 14 oder 30?
1430Zehner und Einer liegen 3 auseinander
1Die Zehnerziffer von 1 bis 9 durchgehen und daneben jede Einerziffer schreiben, die 3 von ihr entfernt ist: 1 → 4; 2 → 5; 3 → 0 und 6; 4 → 1 und 7; und so weiter.
oben die Zehner, darunter die passenden Einer
2Bei 3, 4, 5 oder 6 als Zehner gibt es jeweils zwei Zahlen, 3 darunter und 3 darüber. Bei 1, 2, 7, 8 oder 9 nur eine: Die andere wäre keine Ziffer.
Wie viele vierstellige Zahlen lassen sich nur mit den Ziffern 1 und 2 schreiben, sodass keine zwei Ziffern 2 nebeneinanderstehen?
1212✓1221✕keine zwei Ziffern 2 nebeneinander
1Zum Raten sind es zu viele, also die Zahlen Ziffer für Ziffer aufbauen. Eine Ziffer: 1 und 2, zwei Zahlen. Zwei Ziffern: 11, 12 und 21, drei, denn 22 ist nicht erlaubt.
1 Ziffer122 Ziffern11122122
2Eine erlaubte Zahl endet auf 1 oder auf 2. Endet sie auf 1, ist sie eine beliebige erlaubte Zahl mit einer Ziffer weniger, an die eine 1 angehängt ist. Endet sie auf 2, muss die Ziffer davor eine 1 sein: Dann ist sie eine beliebige erlaubte Zahl mit zwei Ziffern weniger, an die 12 angehängt ist. Also ist jede Anzahl die Summe der beiden vorigen: Drei Ziffern ergeben 3 + 2 = 5, vier Ziffern 5 + 3 = 8.
MathTrail erklärt jede falsche Antwort mit der Falle, die dahintersteckt. Hier sind die häufigsten in diesem Thema, jeweils mit einem Satz, den Sie Ihrem Kind sagen können.
Falle
Beim Auflisten einen Fall übersehen
Das Kind schreibt die Fälle so auf, wie sie ihm einfallen, und verliert einen, oft einen mit einer 0 oder einen, in dem eine Ziffer zweimal vorkommt.
Ziffern im Abstand 3Kind1425?36…Richtig14253036…
Was Sie sagen können
„In welcher Reihenfolge hast du sie aufgeschrieben? Schreiben wir sie noch einmal nach einer Regel auf.“
Falle
Falsche Rechenart gewählt
Das Kind addiert, wo sich die Möglichkeiten multiplizieren, sodass 3 Hemden und 2 Schals 5 ergeben, oder es multipliziert, wo ein Paar gewählt wird und niemand mit sich selbst ein Paar bildet.
3 Hemden und 2 SchalsKind3+2=5Richtig3×2=6
Was Sie sagen können
„Nimm ein Hemd: Wie viele Kombinationen gibt es damit? Und wie viele Hemden gibt es?“
Falle
Dasselbe doppelt gezählt
Lea gibt Tom die Hand, und Tom gibt Lea die Hand: Das wird als zwei Handschläge gezählt, obwohl es einer ist.
KindLTTL= 2RichtigLT= 1
Was Sie sagen können
„Ist das derselbe Fall wie einer, den wir schon haben?“
So helfen Sie zu Hause
01
Ziehen Sie ein Kuscheltier an
Geben Sie Ihrem Kind zwei Mützen und drei Schals für ein Kuscheltier und fragen Sie, auf wie viele Arten sich das Kuscheltier anziehen lässt. Bitten Sie dann um die Liste und prüfen Sie sie gemeinsam.
02
Fragen Sie nach der Regel
Wenn Ihr Kind Fälle auflistet, fragen Sie: „In welcher Reihenfolge schreibst du sie auf?“ Eine Liste mit Regel ist eine Liste, die sich prüfen lässt.
03
Ein Schloss mit Code
Denken Sie sich ein Schloss aus, dessen Code aus zwei Ziffern besteht, jede davon 1, 2 oder 3, und lassen Sie Ihr Kind herausfinden, wie viele Codes jemand durchprobieren müsste, der das Schloss knacken will.
