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Técnicas para resolver problemas de olimpiada matemática

Un problema de olimpiada no trae un método ya hecho. Lo que hay, en cambio, son técnicas que funcionan en muchos problemas a la vez. Aquí están las 11 técnicas que aparecen con más frecuencia, cada una con un problema, un dibujo y una solución.

Intente resolver el problema con su hijo o hija antes de abrir la solución. Lo que más importa es darse cuenta de qué técnica funcionó, para reconocerla la próxima vez.

Por dónde empezar cualquier problema

Antes de elegir una técnica, conviene pasar por cuatro pasos. El matemático George Pólya los expuso en su libro Cómo plantear y resolver problemas (1945).

  1. Comprender el problema

    Dilo con tus propias palabras. ¿Qué sabes? ¿Qué tienes que encontrar?

  2. Concebir un plan

    ¿A qué te recuerda? ¿Qué técnica de esta página podrías probar?

  3. Ejecutar el plan

    Paso a paso, apuntando lo que sale en cada paso.

  4. Examinar la solución

    Sustituye la respuesta en el enunciado. ¿Encaja todo? ¿Podría haber otra respuesta?

Ver el problema

Primero hay que entender el problema. Estas técnicas convierten las palabras en un dibujo, una tabla o un ejemplo pequeño.

01

Dibujar el problema

Un dibujo o un esquema convierte las palabras en algo que se puede mirar. Bastan líneas, puntos y flechas; no hace falta que quede bonito.

Cuándo sirve: «tantos más que», edades, trayectos, partes de un todo.

Problema · 1–2 de primaria

Un hermano tiene 4 años más que su hermana. Entre los dos tienen 16 años. ¿Cuántos años tiene el hermano?

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  1. Dibujamos la edad de la hermana como una barra, y la del hermano como la misma barra más 4 años.

  2. Quitamos los 4 años de más: 16 − 4 = 12. Son dos barras iguales.

  3. Una barra es 12 ÷ 2 = 6 años: es la hermana. El hermano tiene 6 + 4 = 10.

El esquema muestra lo que cuesta retener en la cabeza: sin los cuatro años de más, hermano y hermana tienen la misma edad.

Respuesta El hermano tiene 10 años.

En los temas:Calendario y edades

02

Hacer una tabla

Cuando hay muchos datos, cuesta tenerlos todos en la cabeza. Una tabla los guarda por usted: cada dato es una cruz, y donde a una fila le queda una sola casilla libre, ahí está la respuesta.

Cuándo sirve: varias personas, varias cosas y datos con «no».

Problema · 1–2 de primaria

Adrián, Bea y Vera tienen un gato, un perro y un loro, una mascota cada uno. Adrián no tiene el gato. Bea tiene miedo a los perros. El gato no vive con Bea. ¿Quién tiene cada mascota?

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  1. Ponemos una cruz por cada dato: Adrián, no el gato; Bea, no el perro; el gato, no con Bea.

  2. A Bea le queda una sola casilla: el loro. Así que ni Adrián ni Vera tienen el loro.

  3. A Adrián le queda el perro, y a Vera, el gato.

El número pequeño de cada casilla es el paso de la solución en el que se marcó.

Respuesta Adrián tiene el perro; Bea, el loro; Vera, el gato.

En los temas:Ordenación

03

Empezar con números pequeños

Un caso particular

Cuando los números son grandes y no se ve por dónde empezar, resuelva el mismo problema con números pequeños. Descubra la regla y luego aplíquela a los grandes.

Cuándo sirve: números grandes, «cien», «mil», filas largas.

Problema · 3–4 de primaria

A lo largo de un camino de 100 metros se ponen postes, uno cada 5 metros, también en los dos extremos. ¿Cuántos postes hacen falta?

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  1. Cien metros no se pueden dibujar, así que tomamos un camino de 10 m. Postes en 0, 5 y 10 m: 3 postes para 2 espacios.

  2. Con 15 y 20 m pasa lo mismo: siempre hay un poste más que espacios.

  3. En 100 m hay 100 ÷ 5 = 20 espacios, así que hay 21 postes.

La regla ya se ve en un camino corto; después basta con aplicarla a cien metros.

Respuesta 21 postes.

En los temas:Intervalos y extremos

Encontrar la respuesta

Cuando ya está claro qué pasa, estas técnicas llevan a la respuesta sin perder nada por el camino.

04

Enumerar con orden

Enumerar al azar acaba dejando algo fuera o contándolo dos veces. Enumerar con orden es hacerlo de forma sistemática: primero según un rasgo, después según el siguiente. Para eso viene bien un diagrama de árbol.

Cuándo sirve: «de cuántas maneras», «cuántos números», «escribe todas las opciones».

Problema · 1–2 de primaria

¿Cuántos números distintos de dos cifras se pueden formar con las cifras 2, 4, 6 y 8, si ninguna cifra se repite en un mismo número?

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  1. Elegimos un orden: primero la cifra de las decenas, después la de las unidades.

  2. La cifra de las decenas es 2, 4, 6 u 8. Cada una deja otras tres para las unidades.

  3. Los escribimos rama a rama: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86. No falta ninguno y ninguno se repite.

El árbol no deja escapar nada: cada primera cifra tiene sus propias ramas.

Respuesta 12 números.

En los temas:Enumeración de casos

05

Empezar por el final

Ir hacia atrás

Cuando sepa cómo termina la historia y le pregunten cómo empezó, vaya hacia atrás. Convierta cada acción en su contraria: «se comió» en «devolvió», «multiplicó» en «dividió».

Cuándo sirve: se sabe qué salió al final y hay que averiguar qué había al principio.

Problema · 3–4 de primaria

En un frutero había manzanas. Sofía se comió la mitad. Después Pedro se comió la mitad de las que quedaban y una manzana más. Quedaron 2 manzanas. ¿Cuántas manzanas había al principio?

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  1. Empezamos por lo que sabemos: al final quedaron 2 manzanas.

  2. Antes de Pedro: devolvemos la manzana de más, 2 + 1 = 3. Eso era la mitad, así que había 6.

  3. Antes de Sofía: 6 era la mitad, así que había 12. Comprobación: 12 → 6 → 6 − 3 − 1 = 2.

Se va de derecha a izquierda y se hace todo al revés: «se comió la mitad» pasa a ser «por 2», y «se comió una más», «más 1».

Respuesta 12 manzanas.

En los temas:Aritmética con trucoBalanzas y jarrasJuegos con estrategia ganadora

06

Suponer que todos son iguales

El método de la falsa suposición

Cuando un problema tiene cosas de dos tipos, imagine que todas son del mismo tipo. Calcule cuánto se aleja el resultado y verá cuántas hay que cambiar.

Cuándo sirve: dos tipos de cosas y un total conocido: cabezas y patas, monedas de dos valores.

Problema · 3–4 de primaria

En un corral pasean gallinas y conejos. Entre todos tienen 10 cabezas y 28 patas. ¿Cuántos conejos hay en el corral?

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  1. Supongamos que las 10 son gallinas. Entonces hay 10 × 2 = 20 patas.

  2. En realidad hay 28 patas: 8 más.

  3. Cada conejo en lugar de una gallina añade 2 patas: 8 ÷ 2 = 4 conejos. Comprobación: 4 × 4 + 6 × 2 = 28.

Primero se cuenta como si todos fueran iguales, y después se cambian exactamente los que hagan falta para que cuadre.

Respuesta 4 conejos.

07

Buscar un patrón

Mire los primeros pasos y busque lo que se repite. El trozo que se repite permite saltar muy adelante sin dibujar todo lo que hay en medio.

Cuándo sirve: patrones, filas, el calendario: «¿cuál será el vigésimo?», «¿cuál será el centésimo?».

Problema · 1–2 de primaria

Unas banderas cuelgan en este orden: roja, amarilla, verde, azul, y luego otra vez roja, amarilla, verde, azul, y así sucesivamente. ¿De qué color es la bandera número 23?

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  1. Buscamos el trozo que se repite: roja, amarilla, verde, azul, cuatro banderas.

  2. 23 banderas son 5 grupos completos de cuatro, es decir, 20 banderas, y 3 más.

  3. La número 23 es la tercera de su grupo de cuatro, y la tercera siempre es verde.

No hace falta dibujar veintitrés banderas: basta con ver qué lugar ocupa la bandera dentro de su grupo de cuatro.

Respuesta Verde.

En los temas:Paridad y alternanciaCalendario y edades

Demostrarlo

En una olimpiada, muchas veces la pregunta no es «¿cuántos?», sino «¿puede pasar?». Entonces no basta con contar: hay que explicar por qué no puede ser de otra manera.

08

Suponer lo contrario

Reducción al absurdo

Para demostrar que algo no puede ser, suponga que sí puede y siga el razonamiento hasta dar con una contradicción. Casi todos los problemas de caballeros y mentirosos se resuelven así.

Cuándo sirve: «¿puede pasar?», «demuestra que es imposible», quién dice la verdad.

Problema · 3–4 de primaria

En una isla viven caballeros, que siempre dicen la verdad, y mentirosos, que siempre mienten. Adrián dijo: «Bea es mentirosa». Bea dijo: «Adrián y yo somos los dos caballeros». ¿Quién es quién?

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  1. Supongamos que Bea es de los caballeros. Entonces sus palabras son verdad, y Adrián también es caballero. Pero Adrián, que es caballero, dijo que Bea es mentirosa. Contradicción.

  2. Así que Bea es mentirosa, y sus palabras son falsas: no es verdad que Adrián y ella sean los dos caballeros. Eso encaja.

  3. Adrián dijo «Bea es mentirosa», y es verdad. Solo un caballero dice cosas verdaderas, así que Adrián es caballero.

Un camino lleva a un callejón sin salida, así que el otro es el correcto.

Respuesta Adrián es caballero, y Bea es mentirosa.

En los temas:Caballeros y mentirosos

09

Fijarse en la paridad

A veces no hace falta saberlo todo: basta con saber si un número es par o impar. Si algo cambia entre par e impar en cada paso, el número de pasos dice enseguida dónde se puede acabar y dónde no.

Cuándo sirve: saltos, movimientos, intercambios, «uno sí y otro no», «¿puede salir?».

Problema · 3–4 de primaria

Un saltamontes está en el cero de una recta numérica. Cada salto lo lleva exactamente 1 a la izquierda o a la derecha. ¿Puede volver al cero después de 5 saltos?

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  1. Coloreamos las casillas alternando: pares e impares.

  2. Cada salto cambia el color: de una casilla par a una impar, y al revés.

  3. Después de 5 saltos, que es un número impar, el saltamontes estará sin duda en una casilla impar, y el cero es par.

No hace falta seguir adónde fue exactamente el saltamontes: basta con seguir el color de su casilla.

Respuesta No, no puede.

En los temas:Paridad y alternancia

10

Palomas y nidos

El principio del palomar

Si hay más palomas que nidos, en algún nido habrá al menos dos palomas. Suena obvio, pero permite demostrar cosas que parecen imposibles de comprobar.

Cuándo sirve: «demuestra que tiene que haber», «al menos dos», «con seguridad».

Problema · 3–4 de primaria

¿Cuántas veces hay que tirar un dado para asegurarse de que algún número salga al menos dos veces?

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  1. Un dado tiene 6 números: son 6 «nidos». Las tiradas son las «palomas».

  2. Después de 6 tiradas, todos los números todavía pueden ser distintos: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

  3. A la séptima tirada ya no le queda ningún nido libre: algún número sale por segunda vez. Así que 7 tiradas.

Aunque las seis primeras tiradas sean todas distintas, la séptima tiene que repetir una de ellas.

Respuesta 7 tiradas.

En los temas:Principio del palomar

11

Repetir las jugadas en espejo

Una estrategia simétrica

En los juegos de dos jugadores, a menudo gana quien sabe repetir en espejo las jugadas del otro. Así siempre se tiene una respuesta, mientras el rival tenga una jugada.

Cuándo sirve: juegos de dos jugadores: «¿quién gana jugando bien?».

Problema · 5–6 de primaria

Una tira tiene 9 casillas. Dos jugadores, por turnos, ponen una ficha en una casilla vacía que no esté al lado de una ocupada. Pierde quien no pueda poner ficha. ¿Dónde debe poner el primer jugador la primera ficha para ganar, juegue como juegue el otro?

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  1. En la primera jugada, ponemos una ficha en el centro, en la quinta casilla.

  2. Respondemos a cada jugada del rival con su reflejo: la casilla opuesta, al otro lado del centro.

  3. Si la casilla del rival estaba libre y no tocaba ninguna ficha, su reflejo también. Así que el rival es el primero en quedarse sin jugadas.

Una tira tiene un solo centro, y cada una de las demás casillas tiene su reflejo. Por eso el primer jugador nunca se queda sin jugadas.

Respuesta En el centro, la 5.ª casilla, y después repetir en espejo cada jugada.

En los temas:Juegos con estrategia ganadora

Qué técnica probar

Una pista a partir de las palabras del enunciado. No es una regla: muchos problemas admiten dos técnicas a la vez.

Si el problema tiene……pruebe

«tantos más que», edades, partes de un todo
01Dibujar el problema
muchas personas, cosas y datos con «no»
02Hacer una tabla
números grandes, y no se sabe por dónde empezar
03Empezar con números pequeños
«de cuántas maneras», «cuántos números»
04Enumerar con orden
se conoce el final y se pregunta por el principio
05Empezar por el final
dos tipos de cosas y un total
06Suponer que todos son iguales
algo que se repite: «¿cuál será el vigésimo?»
07Buscar un patrón
«¿puede pasar?», «demuestra que es imposible»
08Suponer lo contrario09Fijarse en la paridad
«con seguridad», «al menos dos»
10Palomas y nidos
un juego de dos: «¿quién gana?»
11Repetir las jugadas en espejo