¿Cuántos números se pueden escribir con estas cifras? ¿Cuántos apretones de manos, conjuntos de ropa o maneras de ponerse en fila? En estos problemas de conteo se escribe cada caso en un orden que garantiza que no se pierda ninguno ni se cuente ninguno dos veces. Una lista que sigue una regla es la primera herramienta que tienen los niños y las niñas ante preguntas demasiado grandes para adivinar la respuesta.
La idea clave
Enumerar los casos siguiendo una regla
Qué enseña
A trabajar con orden y a ver cuándo se pueden contar los casos sin escribirlos todos
¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar con 1, 2 y 3?123↓ ordenados con una regla: primero, la primera cifra
1212313212132331312323 opciones para la primera cifra × 2 para la segunda = 6 números
Las reglas de una lista
primero AABACprimero BBA¿BC?primero CCACB
En orden
Ordene los casos antes de escribirlos: por la primera letra y después por la segunda. En una lista ordenada, un caso que falta deja un hueco que se ve.
LT1 apretón de manosLTTL2 filas
Cada caso, una sola vez
Antes de contar, decida qué hace que dos casos sean distintos. Que Laura y Tomás se den la mano es un solo apretón de manos, pero Laura delante de Tomás y Tomás delante de Laura son dos filas distintas.
3 × 2 = 6 combinaciones
Las opciones se multiplican
Cuando un caso se forma eligiendo una cosa tras otra, primero una taza y luego un platillo, cuente multiplicando: 3 tazas y 2 platillos dan 3 × 2 = 6 combinaciones.
¿Importa el orden?
Con los mismos tres niños, A, B y C, preguntas distintas dan recuentos distintos.
¿Cuántas parejas se pueden mandar a hacer un recado?
NoAB y BA son la misma parejaNo: AB y BA son la misma pareja
ABACBC= 3AB, AC, BC: 3
¿De cuántas maneras se puede elegir quién dirige y quién ayuda?
Síquien dirige va primero (más grande)Sí: quien dirige va primero (más grande)
ABACBABCCACB= 6AB, AC, BA, BC, CA, CB: 6
Cómo resolverlo: una lista con regla
Fije primero una regla: qué va al principio de la lista y qué después. Luego escriba los casos siguiéndola, o cuéntelos en cuanto la regla deje ver un patrón. Los ejemplos de abajo van del más sencillo a uno de olimpiada.
1Decidir qué hace que dos casos sean distintos
2Enumerar los casos siguiendo una regla
3Contarlos, o multiplicar cuando se elige una cosa tras otra
un marco azul: lo que añade este paso
Ejemplo 1 · 1–2 de primaria
Banderas de dos franjas
Una bandera tiene dos franjas, una encima de la otra. Cada franja es roja, amarilla o verde, y las dos franjas son de colores distintos. ¿Cuántas banderas distintas hay?
tres pinturas, las franjas de colores distintos
1Ordenamos las banderas por la franja de arriba. Con la roja arriba, la de abajo es amarilla o verde: dos banderas.
roja arriba
2Con la amarilla arriba, abajo va la roja o la verde: dos más. Con la verde arriba, la roja o la amarilla: dos más.
rojaamarillaverde
33 colores para la franja de arriba y, cada vez, quedan 2 para la de abajo: 3 × 2 = 6 banderas.
arriba ↓abajo →×123×456××: el mismo color dos veces no vale, 9 − 3 = 6
Respuesta66 banderas.
Ejemplo 2 · 3–4 de primaria
Cifras a tres de distancia
¿Cuántos números de dos cifras hay cuyas cifras se diferencian en 3, como el 14 o el 30?
1430las decenas y las unidades se diferencian en 3
1Recorremos la cifra de las decenas del 1 al 9 y escribimos a su lado cada cifra de las unidades que está a 3 de ella: 1 → 4; 2 → 5; 3 → 0 y 6; 4 → 1 y 7; y así sucesivamente.
arriba, las decenas; debajo, las unidades que encajan
2Con 3, 4, 5 o 6 en las decenas hay dos números en cada caso, 3 por debajo y 3 por encima. Con 1, 2, 7, 8 o 9, solo uno: el otro no sería una cifra.
¿Cuántos números de cuatro cifras se pueden escribir solo con las cifras 1 y 2, sin que haya dos 2 uno al lado del otro?
1212✓1221✕dos 2 seguidos no valen
1Son demasiados para adivinarlos, así que los construimos cifra a cifra. Con una cifra: 1 y 2, dos números. Con dos cifras: 11, 12 y 21, tres, porque 22 no vale.
1 cifra122 cifras11122122
2Un número válido termina en 1 o en 2. Si termina en 1, es cualquier número válido con una cifra menos al que se añade un 1. Si termina en 2, la cifra anterior tiene que ser 1: es cualquier número válido con dos cifras menos al que se añade 12. Así que cada recuento es la suma de los dos anteriores: con tres cifras salen 3 + 2 = 5, y con cuatro, 5 + 3 = 8.
21 cifra32 cifras3 + 253 cifras5 + 384 cifras
3Lo comprobamos con la lista: 1111, 1112, 1121, 1211, 2111, 1212, 2112, 2121, ocho.
11111112112112112111121221122121
Respuesta88 números.
Dónde suelen equivocarse
MathTrail explica cada respuesta incorrecta por la trampa en la que cayó. Estas son las más frecuentes en este tema, con algo que puede decirle a su hijo o hija.
Trampa
Caso olvidado al enumerar
El niño o la niña escribe los casos según se le ocurren y pierde uno, a menudo uno con un 0 o con una cifra repetida.
Cifras a 3 de distanciaNiño/a1425?36…Correcto14253036…
Qué decirle
«¿En qué orden los has escrito? Vamos a escribirlos otra vez siguiendo una regla».
Trampa
Operación equivocada
El niño o la niña suma donde las opciones se multiplican, y así 3 camisas y 2 bufandas dan 5, o multiplica donde se elige una pareja y nadie va en pareja consigo mismo.
3 camisas y 2 bufandasNiño/a3+2=5Correcto3×2=6
Qué decirle
«Toma una camisa: ¿cuántos conjuntos salen con ella? ¿Y cuántas camisas hay?»
Trampa
Lo mismo contado dos veces
Que Laura dé la mano a Tomás y que Tomás dé la mano a Laura se cuenta como dos apretones de manos, aunque es uno solo.
Niño/aLTTL= 2CorrectoLT= 1
Qué decirle
«¿Es este el mismo caso que uno que ya tenemos?»
Cómo ayudar en casa
01
Vista un peluche
Dé a su hijo o hija dos gorros y tres bufandas para un peluche y pregúntele de cuántas maneras se puede vestir. Después pídale la lista y revísenla en equipo.
02
Pregunte por la regla
Cuando su hijo o hija enumere casos, pregunte: «¿En qué orden los escribes?». Una lista con regla es una lista que se puede comprobar.
03
Un candado con código
Invente un candado con un código de dos cifras, cada una 1, 2 o 3, y deje que su hijo o hija averigüe cuántos códigos tendría que probar un ladrón.
