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Techniques pour résoudre les problèmes de maths d’olympiade

Un problème d’olympiade n’est pas livré avec une méthode toute faite. En revanche, il existe des techniques qui marchent pour de nombreux problèmes à la fois. Voici les 11 techniques qui reviennent le plus souvent, chacune avec un problème, un dessin et une solution.

Essayez de résoudre le problème avec votre enfant avant d’ouvrir la solution. Le plus important est de remarquer quelle technique a marché, pour la reconnaître la prochaine fois.

Par où commencer n’importe quel problème

Avant de choisir une technique, il est utile de passer par quatre phases. Le mathématicien George Pólya les a exposées dans son livre Comment poser et résoudre un problème (1945).

  1. Comprendre le problème

    Dis-le avec tes propres mots. Qu’est-ce que tu sais ? Qu’est-ce que tu dois trouver ?

  2. Concevoir un plan

    À quoi est-ce que ça te fait penser ? Quelle technique de cette page pourrais-tu essayer ?

  3. Mettre le plan à exécution

    Étape par étape, en notant ce que donne chacune.

  4. Revenir sur la solution

    Remets la réponse dans l’énoncé. Est-ce que tout colle ? Pourrait-il y avoir une autre réponse ?

Voir le problème

D’abord, il faut comprendre le problème. Ces techniques transforment les mots en dessin, en tableau ou en petit exemple.

01

Dessiner le problème

Un dessin ou un schéma transforme les mots en quelque chose qu’on peut regarder. Des traits, des points et des flèches suffisent ; pas besoin que ce soit joli.

Quand l’utiliser : « tant de plus que », âges, trajets, parties d’un tout.

Problème · Niveaux 1–2

Un frère a 4 ans de plus que sa sœur. À eux deux, ils ont 16 ans. Quel âge a le frère ?

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  1. On représente l’âge de la sœur par une barre, et celui du frère par la même barre plus 4 ans.

  2. On enlève les 4 ans en trop : 16 − 4 = 12. Cela fait deux barres égales.

  3. Une barre vaut 12 ÷ 2 = 6 ans : c’est la sœur. Le frère a 6 + 4 = 10 ans.

Le schéma montre ce qu’il est difficile de garder en tête : sans les quatre ans en trop, le frère et la sœur ont le même âge.

Réponse Le frère a 10 ans.

Dans les thèmes :Calendrier et âges

02

Faire un tableau

Quand il y a beaucoup de données, il est difficile de les garder en tête. Un tableau les garde pour vous : chaque donnée est une croix, et là où une ligne n’a plus qu’une case libre, c’est la réponse.

Quand l’utiliser : plusieurs personnes, plusieurs choses, et des données avec « pas ».

Problème · Niveaux 1–2

Adam, Billie et Jade ont un chat, un chien et un perroquet, un animal chacun. Adam n’a pas le chat. Billie a peur des chiens. Le chat ne vit pas chez Billie. Qui a quel animal ?

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  1. On met une croix pour chaque donnée : Adam, pas le chat ; Billie, pas le chien ; le chat, pas chez Billie.

  2. Il ne reste à Billie qu’une case : le perroquet. Donc ni Adam ni Jade n’ont le perroquet.

  3. Il reste le chien à Adam, et le chat à Jade.

Le petit nombre dans une case indique à quelle étape de la solution elle a été marquée.

Réponse Adam a le chien, Billie le perroquet, Jade le chat.

Dans les thèmes :Mise en ordre

03

Commencer par de petits nombres

Un cas particulier

Quand les nombres sont grands et que vous ne voyez pas par où commencer, résolvez le même problème avec de petits nombres. Repérez la règle, puis appliquez-la aux grands.

Quand l’utiliser : grands nombres, « cent », « mille », longues rangées.

Problème · Niveaux 3–4

Le long d’une route de 100 mètres, on plante un poteau tous les 5 mètres, y compris aux deux bouts. Combien faut-il de poteaux ?

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  1. On ne peut pas dessiner cent mètres, alors on prend une route de 10 m. Poteaux à 0, 5 et 10 m : 3 poteaux pour 2 intervalles.

  2. Pour 15 et 20 m, c’est pareil : il y a toujours un poteau de plus que d’intervalles.

  3. Sur 100 m, il y a 100 ÷ 5 = 20 intervalles, donc il y a 21 poteaux.

La règle se voit déjà sur une route courte ; ensuite, il suffit de l’appliquer à cent mètres.

Réponse 21 poteaux.

Dans les thèmes :Intervalles et bornes

Trouver la réponse

Une fois qu’on a compris ce qui se passe, ces techniques mènent à la réponse sans rien perdre en chemin.

04

Énumérer avec méthode

Énumérer au hasard, c’est forcément oublier quelque chose ou le compter deux fois. Énumérer avec méthode, c’est avancer dans l’ordre : d’abord selon un critère, puis selon le suivant. Un arbre des possibles est pratique pour cela.

Quand l’utiliser : « de combien de façons », « combien de nombres », « écris toutes les possibilités ».

Problème · Niveaux 1–2

Combien de nombres différents à deux chiffres peut-on former avec les chiffres 2, 4, 6 et 8, si aucun chiffre n’est utilisé deux fois dans un même nombre ?

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  1. On choisit un ordre : d’abord le chiffre des dizaines, puis celui des unités.

  2. Le chiffre des dizaines est 2, 4, 6 ou 8. Chacun en laisse trois autres pour les unités.

  3. On les écrit branche par branche : 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86. Aucun n’est oublié, et aucun n’est répété.

L’arbre ne laisse rien échapper : chaque premier chiffre a ses propres branches.

Réponse 12 nombres.

Dans les thèmes :Énumération des cas

05

Partir de la fin

Raisonner à rebours

Quand vous savez comment l’histoire se termine et qu’on vous demande comment elle a commencé, remontez le fil. Changez chaque action en son contraire : « a mangé » en « a rendu », « a multiplié » en « a divisé ».

Quand l’utiliser : on sait ce qu’on a obtenu à la fin, et il faut trouver ce qu’il y avait au début.

Problème · Niveaux 3–4

Il y avait des pommes dans une coupe. Sophie en a mangé la moitié. Puis Pierre a mangé la moitié de ce qui restait, et une pomme de plus. Il est resté 2 pommes. Combien de pommes y avait-il au début ?

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  1. On part de ce qu’on sait : à la fin, il restait 2 pommes.

  2. Avant Pierre : on rend la pomme en plus, 2 + 1 = 3. C’était la moitié, donc il y en avait 6.

  3. Avant Sophie : 6 était la moitié, donc il y en avait 12. Vérification : 12 → 6 → 6 − 3 − 1 = 2.

On va de droite à gauche et on fait tout à l’envers : « a mangé la moitié » devient « fois 2 », « a mangé une de plus » devient « plus 1 ».

Réponse 12 pommes.

Dans les thèmes :Calculs astucieuxPesées et transvasementsJeux à stratégie gagnante

06

Supposer qu’ils sont tous pareils

La méthode de fausse position

Quand un problème parle de choses de deux sortes, imaginez qu’elles sont toutes de la même sorte. Calculez de combien le résultat s’écarte, et vous verrez combien il faut en échanger.

Quand l’utiliser : deux sortes de choses et un total connu : têtes et pattes, pièces de deux valeurs.

Problème · Niveaux 3–4

Des poules et des lapins se promènent dans une cour. Ensemble, ils ont 10 têtes et 28 pattes. Combien y a-t-il de lapins dans la cour ?

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  1. Supposons que les 10 soient des poules. Il y a alors 10 × 2 = 20 pattes.

  2. En réalité, il y a 28 pattes : 8 de plus.

  3. Chaque lapin à la place d’une poule ajoute 2 pattes : 8 ÷ 2 = 4 lapins. Vérification : 4 × 4 + 6 × 2 = 28.

On compte d’abord comme s’ils étaient tous pareils, puis on en change exactement autant qu’il faut pour que le compte soit juste.

Réponse 4 lapins.

07

Chercher une régularité

Regardez les premières étapes et trouvez ce qui se répète. Le motif qui revient permet de sauter loin en avant sans tout dessiner entre les deux.

Quand l’utiliser : motifs, rangées, calendrier : « quel sera le vingtième », « quel sera le centième ».

Problème · Niveaux 1–2

Des drapeaux sont accrochés dans cet ordre : rouge, jaune, vert, bleu, puis de nouveau rouge, jaune, vert, bleu, et ainsi de suite. De quelle couleur est le 23e drapeau ?

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  1. On trouve le motif qui se répète : rouge, jaune, vert, bleu, quatre drapeaux.

  2. 23 drapeaux, c’est 5 groupes complets de quatre, soit 20 drapeaux, et encore 3.

  3. Le 23e est le troisième de son groupe de quatre, et le troisième est toujours vert.

Inutile de dessiner vingt-trois drapeaux : il suffit de voir quelle place le drapeau occupe dans son groupe de quatre.

Réponse Vert.

Dans les thèmes :Parité et alternanceCalendrier et âges

Le démontrer

Aux olympiades, la question n’est souvent pas « combien » mais « est-ce possible ». Alors, compter ne suffit pas : il faut expliquer pourquoi il ne peut pas en être autrement.

08

Supposer le contraire

Le raisonnement par l’absurde

Pour prouver que quelque chose est impossible, supposez que c’est possible, et suivez le raisonnement jusqu’à tomber sur une contradiction. Presque tous les problèmes de chevaliers et menteurs se résolvent ainsi.

Quand l’utiliser : « est-ce possible », « prouve que c’est impossible », qui dit la vérité.

Problème · Niveaux 3–4

Sur une île vivent des chevaliers, qui disent toujours la vérité, et des menteurs, qui mentent toujours. Adam a dit : « Billie est une menteuse. » Billie a dit : « Adam et moi sommes tous deux chevaliers. » Qui est qui ?

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  1. Supposons que Billie fasse partie des chevaliers. Alors ses paroles sont vraies, et Adam est lui aussi un chevalier. Mais Adam, chevalier, a dit que Billie est une menteuse. Contradiction.

  2. Donc Billie est une menteuse, et ses paroles sont fausses : Adam et elle ne sont pas tous deux chevaliers. C’est cohérent.

  3. Adam a dit « Billie est une menteuse », et c’est vrai. Seul un chevalier dit des choses vraies, donc Adam est un chevalier.

Un chemin mène à une impasse, donc c’est l’autre qui est le bon.

Réponse Adam est un chevalier, et Billie est une menteuse.

Dans les thèmes :Chevaliers et menteurs

09

Surveiller la parité

Parfois, inutile de tout savoir : il suffit de savoir si un nombre est pair ou impair. Si quelque chose change de parité à chaque étape, le nombre d’étapes dit tout de suite où l’on peut arriver et où c’est impossible.

Quand l’utiliser : sauts, coups, échanges, « un sur deux », « peut-on obtenir ».

Problème · Niveaux 3–4

Une sauterelle est posée sur le zéro d’une droite graduée. Chaque saut la déplace d’exactement 1 vers la gauche ou vers la droite. Peut-elle se retrouver sur le zéro après 5 sauts ?

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  1. On colorie les cases en alternance : paires et impaires.

  2. Chaque saut change la couleur : d’une case paire à une case impaire, et inversement.

  3. Après 5 sauts, un nombre impair, la sauterelle est forcément sur une case impaire, or zéro est pair.

Inutile de suivre où la sauterelle est allée exactement : il suffit de suivre la couleur de sa case.

Réponse Non, elle ne peut pas.

Dans les thèmes :Parité et alternance

10

Les pigeons et les cages

Le principe des tiroirs

S’il y a plus de pigeons que de cages, une des cages contient au moins deux pigeons. Cela paraît évident, et pourtant cela permet de prouver des choses qui semblent impossibles à vérifier.

Quand l’utiliser : « prouve qu’il y a forcément », « au moins deux », « à coup sûr ».

Problème · Niveaux 3–4

Combien de fois dois-tu lancer un dé pour qu’à coup sûr un même nombre sorte au moins deux fois ?

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  1. Un dé a 6 nombres : ce sont 6 « cages ». Les lancers sont les « pigeons ».

  2. Après 6 lancers, les nombres peuvent encore être tous différents : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

  3. Au septième lancer, il ne reste plus de cage libre : un nombre sort une deuxième fois. Donc 7 lancers.

Même si les six premiers lancers sont tous différents, le septième doit en répéter un.

Réponse 7 lancers.

Dans les thèmes :Principe des tiroirs

11

Jouer en miroir

Une stratégie symétrique

Dans les jeux à deux joueurs, on gagne souvent si l’on sait reproduire en miroir les coups de l’autre. On a alors toujours une réponse, tant que l’adversaire a un coup à jouer.

Quand l’utiliser : jeux à deux joueurs : « qui gagne en jouant bien ».

Problème · Niveaux 5–6

Une bande compte 9 cases. Deux joueurs posent à tour de rôle un jeton dans une case vide qui n’est pas à côté d’une case occupée. Qui ne peut plus poser de jeton a perdu. Où le premier joueur doit-il poser le premier jeton pour gagner, quoi que fasse l’autre ?

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  1. Au premier coup, on pose un jeton au milieu, sur la cinquième case.

  2. On répond à chaque coup de l’adversaire par son reflet : la case symétrique, de l’autre côté du milieu.

  3. Si la case de l’adversaire était libre et pas à côté d’un jeton, son reflet l’est aussi. C’est donc l’adversaire qui tombe à court de coups en premier.

Une bande n’a qu’un milieu, et chaque autre case a son reflet. C’est pourquoi le premier joueur ne tombe jamais à court de coups.

Réponse Au milieu, sur la 5e case, puis reproduire chaque coup en miroir.

Dans les thèmes :Jeux à stratégie gagnante

Quelle technique essayer

Un indice tiré des mots de l’énoncé. Ce n’est pas une règle : beaucoup de problèmes cèdent à deux techniques à la fois.

Si le problème comporte……essayez

« tant de plus que », âges, parties d’un tout
01Dessiner le problème
beaucoup de personnes, de choses et de données avec « pas »
02Faire un tableau
de grands nombres, et on ne sait pas par où commencer
03Commencer par de petits nombres
« de combien de façons », « combien de nombres »
04Énumérer avec méthode
la fin est connue, et on demande le début
05Partir de la fin
deux sortes de choses et un total
06Supposer qu’ils sont tous pareils
quelque chose se répète : « quel sera le vingtième »
07Chercher une régularité
« est-ce possible », « prouve que c’est impossible »
08Supposer le contraire09Surveiller la parité
« à coup sûr », « au moins deux »
10Les pigeons et les cages
un jeu à deux : « qui gagne »
11Jouer en miroir