Combien de nombres peut-on écrire avec ces chiffres ? Combien de poignées de main, de tenues ou de façons de se mettre en file ? Dans ces problèmes de dénombrement, on écrit chaque cas dans un ordre qui garantit qu’aucun ne se perd et qu’aucun n’est compté deux fois. Une liste qui suit une règle est le premier outil de l’enfant quand la question est trop grande pour qu’on en devine la réponse.
L’idée clé
Énumérer les cas selon une règle
Ce qu’on y apprend
À travailler avec méthode et à voir quand on peut compter les cas sans les énumérer
Combien de nombres à deux chiffres différents peut-on former avec 1, 2 et 3 ?123↓ énumérés selon une règle : d’abord le premier chiffre
1212313212132331312323 choix pour le premier chiffre × 2 pour le second = 6 nombres
Les règles d’une liste
A d’abordABACB d’abordBABC ?C d’abordCACB
Dans l’ordre
Triez les cas avant de les écrire : d’abord par la première lettre, puis par la deuxième. Dans une liste bien ordonnée, un cas manquant laisse un trou qui se voit.
LT1 poignée de mainLTTL2 files
Chaque cas une seule fois
Avant de compter, décidez ce qui rend deux cas différents. Quand Léa et Tom se serrent la main, cela fait une seule poignée de main, mais Léa devant Tom et Tom devant Léa, ce sont deux files différentes.
3 × 2 = 6 combinaisons
Les choix se multiplient
Quand un cas se compose de choix faits l’un après l’autre, une tasse puis une soucoupe, comptez en multipliant : 3 tasses et 2 soucoupes donnent 3 × 2 = 6 combinaisons.
L’ordre compte-t-il ?
Avec les trois mêmes enfants, A, B et C, des questions différentes donnent des résultats différents.
La question
L’ordre compte-t-il ?
Les cas
De combien de façons peut-on les mettre en file ?
OuiAB et BA sont deux filesOui : AB et BA sont deux files
Combien de paires peut-on envoyer faire une course ?
NonAB et BA forment une seule paireNon : AB et BA forment une seule paire
ABACBC= 3AB, AC, BC : 3
De combien de façons peut-on choisir qui dirige et qui aide ?
Ouiqui dirige vient en premier (en plus grand)Oui : qui dirige vient en premier (en plus grand)
ABACBABCCACB= 6AB, AC, BA, BC, CA, CB : 6
Comment le résoudre : une liste selon une règle
Fixez d’abord une règle : ce qui vient en premier dans la liste, et ce qui suit. Puis écrivez les cas en la suivant, ou comptez-les dès que la règle fait apparaître une régularité. Les exemples ci-dessous vont du plus simple à un problème d’olympiade.
1Décider ce qui rend deux cas différents
2Énumérer les cas selon une règle
3Les compter, ou multiplier quand les choix se font l’un après l’autre
un cadre bleu : ce qu’ajoute cette étape
Exemple 1 · Niveaux 1–2
Drapeaux à deux bandes
Un drapeau a deux bandes, l’une au-dessus de l’autre. Chaque bande est rouge, jaune ou verte, et les deux bandes sont de couleurs différentes. Combien y a-t-il de drapeaux différents ?
trois peintures, des bandes de couleurs différentes
1On range les drapeaux selon la bande du haut. Avec le rouge en haut, la bande du bas est jaune ou verte : deux drapeaux.
rouge en haut
2Avec le jaune en haut, rouge ou vert en bas : deux de plus. Avec le vert en haut, rouge ou jaune : deux de plus.
rougejaunevert
33 couleurs pour le haut, et chaque fois 2 qui restent pour le bas : 3 × 2 = 6 drapeaux.
haut ↓bas →×123×456×× : pas deux fois la même couleur, 9 − 3 = 6
Réponse66 drapeaux.
Exemple 2 · Niveaux 3–4
Chiffres à trois d’écart
Combien de nombres à deux chiffres ont des chiffres qui diffèrent de 3, comme 14 ou 30 ?
1430les dizaines et les unités diffèrent de 3
1On parcourt le chiffre des dizaines de 1 à 9, et on écrit à côté chaque chiffre des unités qui en diffère de 3 : 1 → 4 ; 2 → 5 ; 3 → 0 et 6 ; 4 → 1 et 7 ; et ainsi de suite.
en haut les dizaines, en dessous les unités qui conviennent
2Avec 3, 4, 5 ou 6 aux dizaines, il y a deux nombres chaque fois, 3 de moins et 3 de plus. Avec 1, 2, 7, 8 ou 9, un seul : l’autre ne serait pas un chiffre.
Combien de nombres à quatre chiffres peut-on écrire avec les seuls chiffres 1 et 2, sans que deux 2 soient côte à côte ?
1212✓1221✕deux 2 côte à côte, c’est interdit
1Il y en a trop pour deviner, alors on les construit chiffre par chiffre. Avec un chiffre : 1 et 2, deux nombres. Avec deux chiffres : 11, 12 et 21, trois, puisque 22 est interdit.
1 chiffre122 chiffres11122122
2Un nombre qui convient se termine par 1 ou par 2. S’il se termine par 1, c’est n’importe quel nombre qui convient ayant un chiffre de moins, suivi d’un 1. S’il se termine par 2, le chiffre d’avant doit être 1 : c’est n’importe quel nombre qui convient ayant deux chiffres de moins, suivi de 12. Chaque total est donc la somme des deux précédents : avec trois chiffres, 3 + 2 = 5, et avec quatre, 5 + 3 = 8.
3On vérifie en les écrivant tous : 1111, 1112, 1121, 1211, 2111, 1212, 2112, 2121, soit huit.
11111112112112112111121221122121
Réponse88 nombres.
Où les enfants se trompent
MathTrail explique chaque mauvaise réponse par le piège dans lequel elle est tombée. Voici les plus fréquents dans ce thème, avec une phrase à dire à votre enfant.
Piège
Cas oublié dans l’énumération
L’enfant écrit les cas comme ils lui viennent et en perd un, souvent un cas avec un 0 ou avec un chiffre répété.
Chiffres à 3 d’écartEnfant1425?36…Juste14253036…
Que lui dire
« Dans quel ordre les as-tu écrits ? Réécrivons-les en suivant une règle. »
Piège
Mauvaise opération
L’enfant additionne là où les choix se multiplient, si bien que 3 chemises et 2 écharpes donnent 5, ou multiplie là où l’on choisit une paire, alors que personne ne peut former une paire avec soi-même.
3 chemises et 2 écharpesEnfant3+2=5Juste3×2=6
Que lui dire
« Prends une chemise : combien de tenues peut-on faire avec ? Et combien y a-t-il de chemises ? »
Piège
La même chose comptée deux fois
Léa qui serre la main de Tom, et Tom qui serre la main de Léa : on compte deux poignées de main, alors qu’il n’y en a qu’une.
EnfantLTTL= 2JusteLT= 1
Que lui dire
« Est-ce le même cas qu’un de ceux qu’on a déjà ? »
Comment aider à la maison
01
Habillez une peluche
Donnez à l’enfant deux chapeaux et trois écharpes pour une peluche, et demandez de combien de façons on peut l’habiller. Puis demandez la liste, et vérifiez-la ensemble.
02
Demandez la règle
Quand l’enfant énumère des cas, demandez : « Dans quel ordre les écris-tu ? » Une liste qui suit une règle est une liste qu’on peut vérifier.
03
Un cadenas à code
Inventez un cadenas dont le code a deux chiffres pris parmi 1, 2 et 3, et laissez l’enfant trouver combien de codes un voleur devrait essayer.
