MathTrailCompter et dénombrerNiveaux 1–6
Six arbres en ligne : combien d’intervalles entre eux ? Un tronc en cinq morceaux : combien de coupes ? Dans ces problèmes de piquets et d’intervalles, l’enfant compte soit les objets, soit les intervalles entre eux, et les deux nombres diffèrent d’une unité. C’est de cette unité que viennent la plupart des mauvaises réponses, et c’est un rapide dessin d’un petit cas qui remet les choses en place.
Les intervalles se trouvent entre les objets, donc une rangée compte toujours un intervalle de moins que d’objets : six arbres, cinq intervalles ; cinq morceaux de tronc, quatre coupes.
Quand la rangée se referme en cercle, comme des buissons autour d’un parterre de fleurs, le dernier a un intervalle jusqu’au premier : il y a autant d’intervalles que d’objets.
De la page 3 à la page 7, il y a 7 − 3 = 4 pas, mais 5 pages, parce que la première page est lue aussi. Compter « de … à … » avec les deux bouts ajoute un.
Chaque question compte l’un des deux. En ligne, en cercle ou « de … à … », on ne compte pas de la même façon, et un petit dessin montre comment.
| Le dessin | Ce qu’on compte | Combien |
|---|---|---|
| 6 arbres en ligne | les intervalles entre eux | 6 − 1 = 5 |
| un tronc en 5 morceaux | les coupes | 5 − 1 = 4 |
| 8 buissons autour d’un parterre | les intervalles entre eux | 8 |
| les pages 3 à 7 | les pages lues | 7 − 3 + 1 = 5 |
Dessinez les objets sous forme de points ou de poteaux, d’abord pour un petit nombre, deux ou trois. Comptez les intervalles sur le dessin, trouvez la règle, et seulement ensuite appliquez-la aux nombres du problème. Les exemples ci-dessous vont du plus simple à un problème d’olympiade.
Exemple 1 · Niveaux 1–2
Une ligne de bus compte 6 arrêts. Le bus met 3 minutes pour aller d’un arrêt au suivant. Combien de minutes met-il du premier arrêt au dernier ?
On dessine les 6 arrêts comme des points. Le bus roule le long des intervalles entre eux.
Entre 6 arrêts, il y a 5 intervalles, un de moins que d’arrêts.
Chaque intervalle prend 3 minutes : 5 × 3 = 15.
Réponse 15 minutes.
Exemple 2 · Niveaux 3–4
Léna habite à l’étage 9 et Manon à l’étage 3 du même immeuble, et toutes les deux montent à pied depuis l’étage 1. Toutes les volées d’escalier sont identiques. Combien de fois plus de marches Léna monte-t-elle que Manon ?
Manon monte de l’étage 1 à l’étage 3 : 2 volées d’escalier, de 1 à 2 et de 2 à 3.
Léna monte de l’étage 1 à l’étage 9, soit 8 volées, une de moins que le numéro de son étage.
Les volées sont toutes identiques, donc 8 : 2 = 4. Léna monte 4 fois plus de marches.
Réponse 4 fois plus.
Exemple 3 · Niveaux 5–6
Des bûcherons ont scié des troncs, et chaque tronc a été coupé au moins une fois. Ils ont fait 9 coupes en tout et obtenu 14 morceaux. Combien de troncs ont-ils sciés ?
On scie un tronc : 1 coupe donne 2 morceaux, 2 coupes en donnent 3. Chaque tronc finit avec un morceau de plus que de coupes.
On fait le total sur tous les troncs. Les morceaux, ce sont les coupes, plus un par tronc.
14 − 9 = 5. Il y avait 5 troncs.
Réponse 5 troncs.
MathTrail explique chaque mauvaise réponse par le piège dans lequel elle est tombée. Voici les plus fréquents dans ce thème, avec une phrase à dire à votre enfant.
L’enfant compte les arrêts au lieu des intervalles entre eux, ou les intervalles au lieu des poteaux : 6 arrêts deviennent 6 × 3 = 18 minutes. Avec un de plus ou de moins, la réponse paraît presque juste.
Que lui dire
« Dessine trois arrêts. Combien y a-t-il d’intervalles ? »
L’enfant fait avec les nombres du problème quelque chose que le dessin ne demande pas : les additionne, 6 + 3, ou double l’un d’eux, au lieu de compter les intervalles et de donner à chacun ses minutes.
Que lui dire
« Combien de temps prend un intervalle, et combien y a-t-il d’intervalles ? »
Un nombre de l’énoncé devient la réponse : les 6 arrêts quand la question demande des minutes, ou l’étage 9 quand elle demande des volées d’escalier.
Que lui dire
« Que compte ce nombre : des arrêts ou des intervalles ? »
Écartez les doigts : cinq doigts, quatre intervalles entre eux. C’est l’image la plus rapide de tout le thème, et on l’a toujours sous la main.
Dans l’escalier, comptez ensemble les étages et les volées : de l’étage 1 à l’étage 4, combien de volées ? Et de l’étage 2 à l’étage 4 ?
En promenade, comptez les poteaux d’une clôture et les intervalles entre eux, ou les bancs autour d’un étang. En ligne, il y a un intervalle de moins ; en cercle, autant.
Donne-moi un problème sur le thème « Intervalles et bornes »